*Cho số thực x thoả mãn cả x³+6x² và x + 1/x đều là các số nguyên. Chứng minh rằng x cũng là số nguyên

Question

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $ x $ là số nguyên, ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho và tiến hành lập luận từng bước.

1. Giả sử $ x $ là số thực thỏa mãn $ x^3 + 6x^2 $ và $ x + \frac{1}{x} $ đều là các số nguyên.

2. Xét $ x + \frac{1}{x} $:
   - Gọi $ x + \frac{1}{x} = k $, với $ k $ là số nguyên.
   - Nhân cả hai vế với $ x $:
     $$
     x^2 + 1 = kx
     $$
   - Sắp xếp lại phương trình:
     $$
     x^2 - kx + 1 = 0
     $$

3. Xét phương trình bậc hai $ x^2 - kx + 1 = 0 $:
   - Phương trình này có nghiệm $ x $ nếu và chỉ nếu $ \Delta = k^2 - 4 \geq 0 $.
   - Do $ x $ là số thực, nên $ k^2 - 4 \geq 0 $, suy ra $ k^2 \geq 4 $.
   - Vậy $ k $ có thể là các giá trị nguyên $ k = \pm 2, \pm 3, \pm 4, \ldots $.

4. Xét $ x^3 + 6x^2 $:
   - Gọi $ x^3 + 6x^2 = m $, với $ m $ là số nguyên.
   - Ta có:
     $$
     x^3 + 6x^2 = m
     $$

5. Xét trường hợp $ k = 2 $:
   - Thay vào phương trình $ x^2 - 2x + 1 = 0 $:
     $$
     (x - 1)^2 = 0
     $$
   - Suy ra $ x = 1 $.

6. Xét trường hợp $ k = -2 $:
   - Thay vào phương trình $ x^2 + 2x + 1 = 0 $:
     $$
     (x + 1)^2 = 0
     $$
   - Suy ra $ x = -1 $.

7. Kiểm tra các giá trị $ x = 1 $ và $ x = -1 $ vào $ x^3 + 6x^2 $:
   - Với $ x = 1 $:
     $$
     1^3 + 6 \cdot 1^2 = 1 + 6 = 7 \quad (\text{số nguyên})
     $$
   - Với $ x = -1 $:
     $$
     (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 = -1 + 6 = 5 \quad (\text{số nguyên})
     $$

8. Kết luận:
   - Các giá trị $ x = 1 $ và $ x = -1 $ đều thỏa mãn cả hai điều kiện ban đầu.
   - Vì vậy, $ x $ là số nguyên.

Đáp số: $ x $ là số nguyên.