Dnsjakakkas

Câu 12: Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O, và SA = SC, SB = SD. Do đáy ABCD là hình bình hành tâm O, nên O là trung điểm của cả AC và BD. Ta sẽ chứng minh SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD). 1. Xét tam giác SAC: - SA = SC (theo đề bài) - OA = OC (vì O là trung điểm của AC) Do đó, tam giác SAC là tam giác cân tại S, suy ra SO vuông góc với AC tại O. 2. Xét tam giác SBD: - SB = SD (theo đề bài) - OB = OD (vì O là trung điểm của BD) Do đó, tam giác SBD là tam giác cân tại S, suy ra SO vuông góc với BD tại O. Vì SO vuông góc với cả AC và BD tại cùng một điểm O, và AC và BD là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (ABCD), nên SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Vậy khẳng định đúng là: C. SO ⊥ (ABCD). Đáp án: C. SO ⊥ (ABCD). Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của căn bậc hai và lũy thừa. Bước 1: Xác định căn bậc hai của \(a^3\). \[ \sqrt{a^3} \] Bước 2: Áp dụng công thức căn bậc hai của một lũy thừa: \[ \sqrt{a^3} = (a^3)^{\frac{1}{2}} \] Bước 3: Nhân các số mũ lại với nhau: \[ (a^3)^{\frac{1}{2}} = a^{3 \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}} \] Do đó, \(\sqrt{a^3}\) bằng \(a^{\frac{3}{2}}\). Vậy đáp án đúng là: C. \(a^{\frac{3}{2}}\) Đáp số: \(a^{\frac{3}{2}}\) Câu 14: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của lôgarit và các phép toán liên quan đến lôgarit. Bước 1: Xác định điều kiện của bài toán - a và b là hai số thực dương. Bước 2: Áp dụng tính chất lôgarit - Ta biết rằng $\log_2(a^4) = 4\log_2(a)$ (tính chất lôgarit của lũy thừa). Bước 3: Thay vào biểu thức cần tính - Biểu thức cần tính là $4\log_2(a) + \log_2(b)$. Bước 4: Sử dụng điều kiện đã cho - Theo đề bài, $a^4b = 16$. - Lấy lôgarit cơ sở 2 của cả hai vế: \[ \log_2(a^4b) = \log_2(16) \] - Áp dụng tính chất lôgarit của tích: \[ \log_2(a^4) + \log_2(b) = \log_2(16) \] - Thay $\log_2(a^4)$ bằng $4\log_2(a)$: \[ 4\log_2(a) + \log_2(b) = \log_2(16) \] Bước 5: Tính giá trị của $\log_2(16)$ - Ta biết rằng $16 = 2^4$, do đó: \[ \log_2(16) = \log_2(2^4) = 4 \] Bước 6: Kết luận - Vậy giá trị của $4\log_2(a) + \log_2(b)$ là 4. Đáp án đúng là: A. 4. Câu 15: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_6 x \), ta cần đảm bảo rằng đối số của hàm logarit phải dương. Cụ thể: - Hàm số \( y = \log_6 x \) được xác định khi \( x > 0 \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ (0; +\infty) \] Vậy đáp án đúng là: B. \( (0; +\infty) \) Đáp số: B. \( (0; +\infty) \) Câu 16: Để giải phương trình $\log_5(3x) = 2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_5(3x) = 2$, ta cần đảm bảo rằng $3x > 0$. Điều này dẫn đến $x > 0$. Bước 2: Giải phương trình: - Ta có $\log_5(3x) = 2$. Điều này có nghĩa là $3x = 5^2$. - Tính $5^2 = 25$, vậy ta có $3x = 25$. - Chia cả hai vế cho 3 để tìm $x$: $x = \frac{25}{3}$. Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định $x > 0$. Thử lại $x = \frac{25}{3}$, ta thấy $\frac{25}{3} > 0$, nên thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy nghiệm của phương trình $\log_5(3x) = 2$ là $x = \frac{25}{3}$. Đáp án đúng là: D. $x = \frac{25}{3}$. Câu 17: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào đúng. A. Nếu A $\bot$ c và (P) $\bot$ c thì A // (P). - Điều này không đúng vì nếu một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng khác và một mặt phẳng cũng vuông góc với cùng đường thẳng đó, đường thẳng đó không nhất thiết phải song song với mặt phẳng. Đường thẳng đó có thể nằm trong mặt phẳng hoặc cắt mặt phẳng. B. Nếu A $\bot$ c và B $\bot$ c thì A // B. - Điều này không đúng vì hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng không nhất thiết phải song song với nhau. Chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. C. Nếu A $\bot$ b và B $\bot$ c thì A $\bot$ c. - Điều này không đúng vì hai đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng khác không nhất thiết phải vuông góc với nhau. Chúng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. D. Nếu a // b thì a và b cắt nhau hoặc chéo nhau. - Điều này không đúng vì nếu hai đường thẳng song song thì chúng không thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Chúng chỉ có thể song song. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều sai. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có mệnh đề nào đúng. Đáp án: Không có mệnh đề nào đúng. Câu 18: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập luận từng bước như sau: 1. Xác định vị trí của điểm O và đường thẳng d: - Điểm O là một điểm cố định trong không gian. - Đường thẳng d là một đường thẳng cố định trong không gian. 2. Hiểu về mặt phẳng vuông góc với đường thẳng: - Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. 3. Xét các mặt phẳng qua điểm O: - Qua một điểm O, ta có thể vẽ vô số mặt phẳng. - Để mặt phẳng đó vuông góc với đường thẳng d, đường thẳng d phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. 4. Xác định số lượng mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d: - Ta có thể vẽ vô số mặt phẳng qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d. Mỗi mặt phẳng này đều thỏa mãn điều kiện vuông góc với đường thẳng d. Do đó, qua điểm O có vô số mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d. Đáp án đúng là: D. Vô số. Câu 19: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một bằng cách sử dụng các tính chất của logarit. Mệnh đề A: \[ \log_2\left(\frac{2a^3}{b}\right) = 1 + 3\log_2(a) + \log_2(b) \] Áp dụng tính chất logarit: \[ \log_2\left(\frac{2a^3}{b}\right) = \log_2(2) + \log_2(a^3) - \log_2(b) = 1 + 3\log_2(a) - \log_2(b) \] Như vậy, mệnh đề A sai vì nó thêm \(\log_2(b)\) thay vì trừ \(\log_2(b)\). Mệnh đề B: \[ \log_2\left(\frac{2a^3}{b}\right) = 1 + \frac{1}{3}\log_2(a) + \log_2(b) \] Áp dụng tính chất logarit: \[ \log_2\left(\frac{2a^3}{b}\right) = \log_2(2) + \log_2(a^3) - \log_2(b) = 1 + 3\log_2(a) - \log_2(b) \] Như vậy, mệnh đề B sai vì nó sử dụng \(\frac{1}{3}\log_2(a)\) thay vì \(3\log_2(a)\). Mệnh đề C: \[ \log_2\left(\frac{2a^3}{b}\right) = 1 + 3\log_2(a) - \log_2(b) \] Áp dụng tính chất logarit: \[ \log_2\left(\frac{2a^3}{b}\right) = \log_2(2) + \log_2(a^3) - \log_2(b) = 1 + 3\log_2(a) - \log_2(b) \] Như vậy, mệnh đề C đúng. Mệnh đề D: \[ \log_2\left(\frac{2a^3}{b}\right) = 1 + \frac{1}{3}\log_2(a) - \log_2(b) \] Áp dụng tính chất logarit: \[ \log_2\left(\frac{2a^3}{b}\right) = \log_2(2) + \log_2(a^3) - \log_2(b) = 1 + 3\log_2(a) - \log_2(b) \] Như vậy, mệnh đề D sai vì nó sử dụng \(\frac{1}{3}\log_2(a)\) thay vì \(3\log_2(a)\). Kết luận: Mệnh đề đúng là C. Đáp án: C. $\log_2\left(\frac{2a^3}{b}\right) = 1 + 3\log_2(a) - \log_2(b)$ Câu 20: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong một lăng trụ đứng, các cạnh bên (như AA', BB', CC') vuông góc với mặt đáy ABC. Do đó, tam giác AA'C là tam giác vuông tại A. Góc phẳng nhị diện $[B,AA^\prime,C]$ là góc giữa hai mặt phẳng (BAA') và (CAA'). Ta sẽ tìm góc này bằng cách tìm góc giữa hai đường thẳng BA' và CA'. - Vì ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC = 90°. - AA' vuông góc với mặt đáy ABC, do đó AA' vuông góc với AB và AC. Do đó, tam giác AA'B và AA'C đều là tam giác vuông tại A. Góc giữa hai đường thẳng BA' và CA' chính là góc BAC, vì AA' là đường cao chung của cả hai tam giác AA'B và AA'C. Vậy góc phẳng nhị diện $[B,AA^\prime,C]$ là góc BAC, tức là 90°. Đáp án đúng là: D. 90°. Câu 21: Để xác định mệnh đề đúng, chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề một. A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng kia. - Điều này không đúng vì chỉ có các đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng mới vuông góc với mặt phẳng kia. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau. - Điều này không đúng vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể song song hoặc cắt nhau nhưng không nhất thiết phải vuông góc với nhau. C. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. - Điều này cũng không đúng vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng có thể song song hoặc cắt nhau nhưng không nhất thiết phải song song với nhau. Vậy cả ba mệnh đề đều sai. Đáp án: Cả ba mệnh đề đều sai.