Câu 2:
Để giải quyết các phát biểu trong câu hỏi, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một.
a) $\cos a < 0.$
Do $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, góc $a$ nằm trong khoảng từ $\frac{\pi}{2}$ đến $\pi$. Trong khoảng này, giá trị của $\cos a$ luôn âm. Do đó, phát biểu này đúng.
b) $\cos a = \frac{4}{5}.$
Ta biết rằng $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$. Thay $\sin a = \frac{3}{5}$ vào công thức trên:
\[
\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \\
\frac{9}{25} + \cos^2 a = 1 \\
\cos^2 a = 1 - \frac{9}{25} \\
\cos^2 a = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \\
\cos^2 a = \frac{16}{25} \\
\cos a = \pm \frac{4}{5}
\]
Vì $\cos a < 0$ (như đã chứng minh ở phần a), ta có:
\[
\cos a = -\frac{4}{5}
\]
Do đó, phát biểu này sai.
c) $\sin 2a = \frac{24}{25}.$
Công thức $\sin 2a = 2 \sin a \cos a$:
\[
\sin 2a = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \\
\sin 2a = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \\
\sin 2a = 2 \cdot \frac{3 \cdot (-4)}{25} \\
\sin 2a = 2 \cdot \frac{-12}{25} \\
\sin 2a = \frac{-24}{25}
\]
Do đó, phát biểu này sai.
d) $\sin(-a) = \frac{-3}{5}.$
Công thức $\sin(-a) = -\sin(a)$:
\[
\sin(-a) = -\sin(a) \\
\sin(-a) = -\frac{3}{5}
\]
Do đó, phát biểu này đúng.
Tóm lại:
- Phát biểu a) đúng.
- Phát biểu b) sai.
- Phát biểu c) sai.
- Phát biểu d) đúng.
Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phát biểu một.
a) $\cos a < 0$
Do $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$, góc $a$ nằm trong khoảng thứ ba của vòng tròn đơn vị, nơi mà $\cos a$ luôn âm. Do đó, phát biểu này đúng.
b) $\cos a = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Ta biết rằng:
\[ \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \]
Thay $\sin a = -\frac{1}{3}$ vào:
\[ \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \]
\[ \frac{1}{9} + \cos^2 a = 1 \]
\[ \cos^2 a = 1 - \frac{1}{9} \]
\[ \cos^2 a = \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \]
\[ \cos^2 a = \frac{8}{9} \]
\[ \cos a = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \]
Vì $a$ nằm trong khoảng thứ ba, $\cos a$ phải âm. Vậy:
\[ \cos a = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \]
Phát biểu này đúng.
c) $\sin 2a = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$
Ta sử dụng công thức:
\[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a \]
Thay $\sin a = -\frac{1}{3}$ và $\cos a = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$ vào:
\[ \sin 2a = 2 \left( -\frac{1}{3} \right) \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) \]
\[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} \]
\[ \sin 2a = \frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{9} \]
\[ \sin 2a = \frac{4\sqrt{2}}{9} \]
Phát biểu này sai vì dấu âm đã bị bỏ qua.
d) $\sin (\pi + a) = \frac{1}{3}$
Ta sử dụng tính chất của sin:
\[ \sin (\pi + a) = -\sin a \]
Thay $\sin a = -\frac{1}{3}$ vào:
\[ \sin (\pi + a) = -\left( -\frac{1}{3} \right) \]
\[ \sin (\pi + a) = \frac{1}{3} \]
Phát biểu này đúng.
Kết luận:
- Phát biểu a) đúng.
- Phát biểu b) đúng.
- Phát biểu c) sai.
- Phát biểu d) đúng.
Vậy các phát biểu đúng là a), b) và d).
Câu 4:
a) Chu kì của hàm số $y=\cot x$ là $\pi$.
Lý do: Hàm số $y = \cot x$ có chu kì là $\pi$, vì $\cot(x + \pi) = \cot x$.
b) Tập xác định của hàm số $y=\cot x$ là $\mathbb R \setminus \{x | x = k\pi, k \in \mathbb Z\}$.
Lý do: Hàm số $y = \cot x$ không xác định tại các điểm $x = k\pi$, vì $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ và $\sin x = 0$ tại các điểm này.
c) Tập nghiệm của phương trình $\sqrt{3}\cot x - 1 = 0$ là $S = \left\{\frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb Z\right\}$.
Lý do:
\[
\sqrt{3}\cot x - 1 = 0 \implies \cot x = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \cot x = \cot \frac{\pi}{3}
\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{\frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb Z\right\}$.
d) Số nghiệm của phương trình $\sqrt{3}\cot x - 1 = 0$ trong khoảng $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ là 1.
Lý do:
Phương trình $\sqrt{3}\cot x - 1 = 0$ có nghiệm là $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$. Trong khoảng $(-\frac{\pi}{2}; 0)$, chỉ có một nghiệm duy nhất là $x = -\frac{2\pi}{3}$ (khi $k = -1$).
Đáp án:
a) Sai, vì chu kì của hàm số $y = \cot x$ là $\pi$.
b) Sai, vì tập xác định của hàm số $y = \cot x$ là $\mathbb R \setminus \{x | x = k\pi, k \in \mathbb Z\}$.
c) Đúng.
d) Sai, vì số nghiệm của phương trình $\sqrt{3}\cot x - 1 = 0$ trong khoảng $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ là 1.
Câu 5:
a) Đáp án đúng là: SAI
Chu kì của hàm số $y=\cot x$ là $\pi$.
b) Đáp án đúng là: SAI
Tập xác định của hàm số $y=\tan x$ là $D=\mathbb R\setminus\{k\pi+\frac\pi2;k\in Z\}.$
c) Đáp án đúng là: SAI
Ta có:
$3\tan x+\sqrt3=0$
$\Rightarrow \tan x=-\frac{\sqrt3}{3}$
$\Rightarrow x=-\frac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb Z$
Vậy tập nghiệm của phương trình $3\tan x+\sqrt3=0$ là $S=\{-\frac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb Z\}$
d) Đáp án đúng là: ĐÚNG
Từ c ta có tập nghiệm của phương trình $3\tan x+\sqrt3=0$ là $S=\{-\frac{\pi}{6}+k\pi, k\in\mathbb Z\}$
Vậy số nghiệm của phương trình $3\tan x+\sqrt3=0$ trong khoảng $[-\pi;\pi]$ là 2.
Câu 6:
Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1=5$ và $d=-7.$
a) Ta có:
$u_1 = 5$
$u_2 = u_1 + d = 5 + (-7) = -2$
$u_3 = u_2 + d = -2 + (-7) = -9$
Vậy $u_1 = 5$, $u_2 = -2$, $u_3 = -9$. Đáp án đúng.
b) Số hạng thứ 11 của cấp số cộng là:
$u_{11} = u_1 + 10 \times d = 5 + 10 \times (-7) = 5 - 70 = -65$
Vậy $u_{11} = -65$. Đáp án đúng.
c) Số -849 là số hạng thứ n của cấp số cộng, ta có:
$u_n = u_1 + (n-1) \times d$
$-849 = 5 + (n-1) \times (-7)$
$-849 = 5 - 7(n-1)$
$-849 = 5 - 7n + 7$
$-849 = 12 - 7n$
$-849 - 12 = -7n$
$-861 = -7n$
$n = \frac{-861}{-7} = 123$
Vậy số -849 là số hạng thứ 123 của cấp số cộng. Đáp án đúng.
d) Tổng 25 số hạng đầu của dãy là:
$S_{25} = \frac{25}{2} \times (u_1 + u_{25})$
Ta cần tính $u_{25}$ trước:
$u_{25} = u_1 + 24 \times d = 5 + 24 \times (-7) = 5 - 168 = -163$
Vậy:
$S_{25} = \frac{25}{2} \times (5 + (-163)) = \frac{25}{2} \times (-158) = 25 \times (-79) = -1975$
Vậy tổng 25 số hạng đầu của dãy là -1975. Đáp án sai.
Đáp án đúng là: a, b, c.
Câu 7:
Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng đầu $u_1=\frac{3}{2},$ công sai $d=\frac{1}{2}.$
a) Ta tính ba số hạng đầu của cấp số cộng:
- Số hạng thứ hai: $u_2 = u_1 + d = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
- Số hạng thứ ba: $u_3 = u_2 + d = 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
Vậy ba số hạng đầu của cấp số cộng là $\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}$.
Đáp số: $\frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2}$.