Câu 3:
Để kiểm tra xem mỗi điểm có thuộc mặt phẳng $(P):~3x-2z+2=0$ hay không, ta thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không.
A. $~B(4;2;1)$:
Thay $x = 4$, $y = 2$, $z = 1$ vào phương trình mặt phẳng:
\[ 3(4) - 2(1) + 2 = 12 - 2 + 2 = 12 \neq 0 \]
Do đó, điểm $B$ không thuộc mặt phẳng $(P)$.
B. $~A(1;2;4)$:
Thay $x = 1$, $y = 2$, $z = 4$ vào phương trình mặt phẳng:
\[ 3(1) - 2(4) + 2 = 3 - 8 + 2 = -3 \neq 0 \]
Do đó, điểm $A$ không thuộc mặt phẳng $(P)$.
C. $~D(2;1;4)$:
Thay $x = 2$, $y = 1$, $z = 4$ vào phương trình mặt phẳng:
\[ 3(2) - 2(4) + 2 = 6 - 8 + 2 = 0 \]
Do đó, điểm $D$ thuộc mặt phẳng $(P)$.
D. $~C(2;4;-1)$:
Thay $x = 2$, $y = 4$, $z = -1$ vào phương trình mặt phẳng:
\[ 3(2) - 2(-1) + 2 = 6 + 2 + 2 = 10 \neq 0 \]
Do đó, điểm $C$ không thuộc mặt phẳng $(P)$.
Vậy, trong các điểm đã cho, chỉ có điểm $D(2;1;4)$ thuộc mặt phẳng $(P)$.
Đáp án đúng là: C. $~D(2;1;4)$.
Câu 4:
Để tìm phương trình mặt phẳng chứa điểm \( A(1;2;3) \) và trục Oz, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Mặt phẳng chứa trục Oz, do đó vectơ chỉ phương của trục Oz là \( \vec{k} = (0, 0, 1) \).
- Mặt phẳng cũng chứa điểm \( A(1, 2, 3) \).
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Mặt phẳng chứa trục Oz và điểm \( A \), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ vuông góc với \( \vec{k} \).
- Ta chọn một điểm trên trục Oz, ví dụ \( O(0, 0, 0) \), và tìm vectơ \( \overrightarrow{OA} = (1, 2, 3) \).
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng sẽ vuông góc với cả \( \vec{k} \) và \( \overrightarrow{OA} \).
3. Tính vectơ pháp tuyến:
- Ta tính tích có hướng của \( \vec{k} \) và \( \overrightarrow{OA} \):
\[
\vec{n} = \vec{k} \times \overrightarrow{OA} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{vmatrix} = (-2, 1, 0)
\]
- Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là \( \vec{n} = (-2, 1, 0) \).
4. Viết phương trình mặt phẳng:
- Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz = d \), trong đó \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số.
- Thay \( \vec{n} = (-2, 1, 0) \) vào phương trình:
\[
-2x + y + 0z = d
\]
- Để xác định \( d \), thay tọa độ của điểm \( A(1, 2, 3) \) vào phương trình:
\[
-2(1) + 2 = d \implies -2 + 2 = d \implies d = 0
\]
5. Phương trình cuối cùng:
- Phương trình mặt phẳng là:
\[
-2x + y = 0
\]
- Điều này tương đương với:
\[
2x - y = 0
\]
Do đó, phương án đúng là:
A. \( 2x - y = 0 \)
Đáp án: A. \( 2x - y = 0 \)