giúp tôi với

Câu 22. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) = \frac{(x^2 - 1)^2}{x^2} \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức \( f(x) \). \[ f(x) = \frac{(x^2 - 1)^2}{x^2} \] Ta mở rộng bình phương ở tử số: \[ (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1 \] Do đó: \[ f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 1}{x^2} \] Chia mỗi hạng tử ở tử số cho mẫu số: \[ f(x) = \frac{x^4}{x^2} - \frac{2x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ. \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \right) \, dx \] Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] \[ \int (-2) \, dx = -2x + C_2 \] \[ \int \frac{1}{x^2} \, dx = \int x^{-2} \, dx = -\frac{1}{x} + C_3 \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên lại để tìm nguyên hàm tổng quát. \[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C \] Trong đó \( C \) là hằng số tích phân. Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{(x^2 - 1)^2}{x^2} \) là: \[ F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C \] Câu 23. Để tính $\int \left( \frac{(1-x)^3}{\sqrt[3]{x}} \right) dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức trong tích phân: \[ \frac{(1-x)^3}{\sqrt[3]{x}} = \frac{(1 - 3x + 3x^2 - x^3)}{\sqrt[3]{x}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - \frac{3x}{\sqrt[3]{x}} + \frac{3x^2}{\sqrt[3]{x}} - \frac{x^3}{\sqrt[3]{x}} \] \[ = x^{-\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{8}{3}} \] Bước 2: Tính tích phân từng phần: \[ \int \left( x^{-\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{5}{3}} - x^{\frac{8}{3}} \right) dx \] Áp dụng công thức tích phân cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: \[ = \int x^{-\frac{1}{3}} dx - 3 \int x^{\frac{2}{3}} dx + 3 \int x^{\frac{5}{3}} dx - \int x^{\frac{8}{3}} dx \] \[ = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} - 3 \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + 3 \cdot \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}} - \frac{x^{\frac{11}{3}}}{\frac{11}{3}} + C \] \[ = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - 3 \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 3 \cdot \frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{11} x^{\frac{11}{3}} + C \] \[ = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - \frac{9}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{9}{8} x^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{11} x^{\frac{11}{3}} + C \] Vậy, kết quả của tích phân là: \[ \int \left( \frac{(1-x)^3}{\sqrt[3]{x}} \right) dx = \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - \frac{9}{5} x^{\frac{5}{3}} + \frac{9}{8} x^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{11} x^{\frac{11}{3}} + C \] Câu 24. Để tính tích phân $\int(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[5]{x^4})dx$, ta thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Xác định các căn thức dưới dạng lũy thừa: - $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$ - $\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$ - $\sqrt[5]{x^4} = x^{\frac{4}{5}}$ Bước 2: Tính tích phân từng phần: - $\int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}$ - $\int x^{\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{\frac{3}{4} + 1}}{\frac{3}{4} + 1} = \frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}}$ - $\int x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{x^{\frac{4}{5} + 1}}{\frac{4}{5} + 1} = \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} = \frac{5}{9}x^{\frac{9}{5}}$ Bước 3: Kết hợp các kết quả trên lại: \[ \int(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[4]{x^3}+\sqrt[5]{x^4})dx = \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} + \frac{5}{9}x^{\frac{9}{5}} + C \] Đáp số: \[ \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}} - \frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}} + \frac{5}{9}x^{\frac{9}{5}} + C \] Câu 25. Để tính $\int(\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1) \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân hai đa thức trong dấu tích phân: \[ (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1) = \sqrt{x} \cdot x + \sqrt{x} \cdot (-\sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot 1 + 1 \cdot x + 1 \cdot (-\sqrt{x}) + 1 \cdot 1 \] \[ = x\sqrt{x} - x + \sqrt{x} + x - \sqrt{x} + 1 \] \[ = x\sqrt{x} + 1 \] Bước 2: Tách tích phân thành tổng các tích phân đơn giản hơn: \[ \int (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1) \, dx = \int (x\sqrt{x} + 1) \, dx \] \[ = \int x\sqrt{x} \, dx + \int 1 \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: - Tích phân $\int x\sqrt{x} \, dx$: \[ x\sqrt{x} = x^{3/2} \] \[ \int x^{3/2} \, dx = \frac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}} + C_1 = \frac{2}{5}x^{5/2} + C_1 \] - Tích phân $\int 1 \, dx$: \[ \int 1 \, dx = x + C_2 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả lại: \[ \int (\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1) \, dx = \frac{2}{5}x^{5/2} + x + C \] Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ \boxed{\frac{2}{5}x^{5/2} + x + C} \] Câu 26. Để tính tích phân $\int(2\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{x}}) \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tách tích phân thành hai phần riêng biệt: \[ \int(2\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{x}}) \, dx = \int 2\sqrt{x} \, dx - \int \frac{3}{\sqrt[3]{x}} \, dx \] Bước 2: Tính từng phần tích phân riêng lẻ. - Tính $\int 2\sqrt{x} \, dx$: \[ \int 2\sqrt{x} \, dx = 2 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx \] Áp dụng công thức tích phân $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: \[ 2 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \] - Tính $\int \frac{3}{\sqrt[3]{x}} \, dx$: \[ \int \frac{3}{\sqrt[3]{x}} \, dx = 3 \int x^{-\frac{1}{3}} \, dx \] Áp dụng công thức tích phân $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: \[ 3 \int x^{-\frac{1}{3}} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} + C = 3 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = 3 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C = \frac{9}{2} x^{\frac{2}{3}} + C \] Bước 3: Kết hợp kết quả của hai phần tích phân: \[ \int(2\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{x}}) \, dx = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{9}{2} x^{\frac{2}{3}} + C \] Vậy, kết quả cuối cùng là: \[ \boxed{\frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{9}{2} x^{\frac{2}{3}} + C} \] Câu 27. Để tính tích phân $\int \frac{1}{\sqrt{2x} + \sqrt{3x}} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức trong tích phân: \[ \int \frac{1}{\sqrt{2x} + \sqrt{3x}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{2} + \sqrt{3})} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx. \] Bước 2: Tính tích phân $\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$: \[ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = 2x^{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C. \] Bước 3: Kết hợp lại để có kết quả cuối cùng: \[ \int \frac{1}{\sqrt{2x} + \sqrt{3x}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot 2\sqrt{x} + C = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + C. \] Đáp số: \[ \boxed{\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + C}. \] Câu 28. Để tính $\int \frac{1}{\sqrt{5x} - \sqrt{3x}} \, dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu số: \[ \int \frac{1}{\sqrt{5x} - \sqrt{3x}} \, dx = \int \frac{\sqrt{5x} + \sqrt{3x}}{(\sqrt{5x} - \sqrt{3x})(\sqrt{5x} + \sqrt{3x})} \, dx = \int \frac{\sqrt{5x} + \sqrt{3x}}{5x - 3x} \, dx = \int \frac{\sqrt{5x} + \sqrt{3x}}{2x} \, dx. \] Bước 2: Tách tích phân thành hai phần: \[ \int \frac{\sqrt{5x} + \sqrt{3x}}{2x} \, dx = \frac{1}{2} \int \left( \frac{\sqrt{5x}}{x} + \frac{\sqrt{3x}}{x} \right) \, dx = \frac{1}{2} \int \left( \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{x}}{x} + \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{x}}{x} \right) \, dx = \frac{1}{2} \int \left( \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \, dx. \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: \[ \frac{1}{2} \int \left( \sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \, dx = \frac{1}{2} \left( \sqrt{5} \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx + \sqrt{3} \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \right). \] Biết rằng $\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{x}$, ta có: \[ \frac{1}{2} \left( \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{x} + \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{x} \right) = \frac{1}{2} \left( 2\sqrt{5}\sqrt{x} + 2\sqrt{3}\sqrt{x} \right) = \sqrt{5}\sqrt{x} + \sqrt{3}\sqrt{x}. \] Bước 4: Viết kết quả cuối cùng: \[ \int \frac{1}{\sqrt{5x} - \sqrt{3x}} \, dx = \sqrt{5}\sqrt{x} + \sqrt{3}\sqrt{x} + C, \] trong đó $C$ là hằng số tích phân. Đáp số: $\sqrt{5}\sqrt{x} + \sqrt{3}\sqrt{x} + C$. Câu 29. Để tính $\int(x^2-1)^3dx$, trước tiên chúng ta sẽ mở rộng biểu thức $(x^2-1)^3$. \[ (x^2-1)^3 = (x^2-1)(x^2-1)(x^2-1) \] Ta thực hiện phép nhân từng bước: \[ (x^2-1)(x^2-1) = x^4 - 2x^2 + 1 \] Tiếp theo, nhân tiếp với $(x^2-1)$: \[ (x^4 - 2x^2 + 1)(x^2-1) = x^6 - x^4 - 2x^4 + 2x^2 + x^2 - 1 = x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1 \] Bây giờ, ta có thể viết lại tích phân: \[ \int(x^2-1)^3dx = \int(x^6 - 3x^4 + 3x^2 - 1)dx \] Chúng ta sẽ tính từng phần riêng lẻ: \[ \int x^6 dx = \frac{x^7}{7} + C_1 \] \[ \int -3x^4 dx = -3 \cdot \frac{x^5}{5} + C_2 = -\frac{3x^5}{5} + C_2 \] \[ \int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C_3 = x^3 + C_3 \] \[ \int -1 dx = -x + C_4 \] Gộp tất cả các kết quả lại, ta có: \[ \int(x^2-1)^3dx = \frac{x^7}{7} - \frac{3x^5}{5} + x^3 - x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số tích phân tổng hợp từ các hằng số $C_1, C_2, C_3, C_4$. Vậy đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{\frac{x^7}{7} - \frac{3x^5}{5} + x^3 - x + C} \] Câu 30. Để tính $\int(2-x^2)^4dx$, ta sẽ mở rộng biểu thức $(2-x^2)^4$ trước khi thực hiện phép tích phân. Bước 1: Mở rộng biểu thức $(2-x^2)^4$: \[ (2-x^2)^4 = (2-x^2)(2-x^2)(2-x^2)(2-x^2) \] Ta có thể sử dụng công thức nhị thức Newton để mở rộng: \[ (a-b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k \] Áp dụng vào đây với \(a = 2\), \(b = x^2\) và \(n = 4\): \[ (2-x^2)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 2^{4-k} (-x^2)^k \] Cụ thể: \[ (2-x^2)^4 = \binom{4}{0} 2^4 (-x^2)^0 + \binom{4}{1} 2^3 (-x^2)^1 + \binom{4}{2} 2^2 (-x^2)^2 + \binom{4}{3} 2^1 (-x^2)^3 + \binom{4}{4} 2^0 (-x^2)^4 \] \[ = 1 \cdot 16 \cdot 1 + 4 \cdot 8 \cdot (-x^2) + 6 \cdot 4 \cdot x^4 + 4 \cdot 2 \cdot (-x^6) + 1 \cdot 1 \cdot x^8 \] \[ = 16 - 32x^2 + 24x^4 - 8x^6 + x^8 \] Bước 2: Tích phân từng hạng tử: \[ \int (16 - 32x^2 + 24x^4 - 8x^6 + x^8) \, dx \] Áp dụng công thức tích phân từng hạng tử: \[ = \int 16 \, dx - \int 32x^2 \, dx + \int 24x^4 \, dx - \int 8x^6 \, dx + \int x^8 \, dx \] \[ = 16x - \frac{32x^3}{3} + \frac{24x^5}{5} - \frac{8x^7}{7} + \frac{x^9}{9} + C \] Vậy kết quả cuối cùng là: \[ \int (2-x^2)^4 \, dx = 16x - \frac{32x^3}{3} + \frac{24x^5}{5} - \frac{8x^7}{7} + \frac{x^9}{9} + C \] Câu 31. Để tính $\int(x-\sqrt[3]{x})^2 dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Mở rộng biểu thức trong dấu tích phân: \[ (x - \sqrt[3]{x})^2 = x^2 - 2x \cdot \sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{x})^2 \] \[ = x^2 - 2x^{1 + \frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \] \[ = x^2 - 2x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \] Bước 2: Tính tích phân từng hạng tử riêng lẻ: \[ \int (x^2 - 2x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{2}{3}}) dx = \int x^2 dx - 2 \int x^{\frac{4}{3}} dx + \int x^{\frac{2}{3}} dx \] Bước 3: Áp dụng công thức tích phân cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{3}}{3} + C_1 \] \[ -2 \int x^{\frac{4}{3}} dx = -2 \left( \frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}} \right) + C_2 = -2 \left( \frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} \right) + C_2 = -\frac{6}{7} x^{\frac{7}{3}} + C_2 \] \[ \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C_3 = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C_3 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả lại: \[ \int (x^2 - 2x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{2}{3}}) dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C \] Vậy, đáp án cuối cùng là: \[ \int (x - \sqrt[3]{x})^2 dx = \frac{x^{3}}{3} - \frac{6}{7} x^{\frac{7}{3}} + \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C \] Câu 32. Để tính $\int \left( \frac{x^2 + 2\sqrt[3]{x}}{x} \right)^2 dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn biểu thức trong dấu tích phân: \[ \frac{x^2 + 2\sqrt[3]{x}}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{2\sqrt[3]{x}}{x} = x + 2x^{-\frac{2}{3}} \] Bước 2: Tính bình phương của biểu thức đã rút gọn: \[ \left( x + 2x^{-\frac{2}{3}} \right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2x^{-\frac{2}{3}} + (2x^{-\frac{2}{3}})^2 = x^2 + 4x^{1 - \frac{2}{3}} + 4x^{-\frac{4}{3}} = x^2 + 4x^{\frac{1}{3}} + 4x^{-\frac{4}{3}} \] Bước 3: Tính tích phân từng hạng tử: \[ \int \left( x^2 + 4x^{\frac{1}{3}} + 4x^{-\frac{4}{3}} \right) dx = \int x^2 dx + \int 4x^{\frac{1}{3}} dx + \int 4x^{-\frac{4}{3}} dx \] - Tích phân của $x^2$: \[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \] - Tích phân của $4x^{\frac{1}{3}}$: \[ \int 4x^{\frac{1}{3}} dx = 4 \int x^{\frac{1}{3}} dx = 4 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = 3x^{\frac{4}{3}} \] - Tích phân của $4x^{-\frac{4}{3}}$: \[ \int 4x^{-\frac{4}{3}} dx = 4 \int x^{-\frac{4}{3}} dx = 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} = -12x^{-\frac{1}{3}} \] Bước 4: Kết hợp các kết quả lại: \[ \int \left( x^2 + 4x^{\frac{1}{3}} + 4x^{-\frac{4}{3}} \right) dx = \frac{x^3}{3} + 3x^{\frac{4}{3}} - 12x^{-\frac{1}{3}} + C \] Vậy đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{\frac{x^3}{3} + 3x^{\frac{4}{3}} - 12x^{-\frac{1}{3}} + C} \]