toán gíirii dùm iem

Câu 1: Để xác định đẳng thức nào sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức theo các quy tắc về lũy thừa. A. $\frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha + \beta}$ Theo quy tắc chia lũy thừa cùng cơ số: \[ \frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta} \] Do đó, đẳng thức này sai vì nó viết là $a^{\alpha + \beta}$ thay vì $a^{\alpha - \beta}$. B. $a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta}$ Theo quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: \[ a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha + \beta} \] Đẳng thức này đúng. C. $\frac{a^\alpha}{b^\beta} = \left(\frac{a}{b}\right)^{\alpha - \beta}$ Theo quy tắc chia lũy thừa khác cơ số: \[ \frac{a^\alpha}{b^\beta} = \left(\frac{a}{b}\right)^\alpha \cdot b^{-\beta} \] Đẳng thức này không đúng vì nó không tuân theo quy tắc chia lũy thừa khác cơ số. D. $a^\alpha \cdot b^\beta = (ab)^\alpha$ Theo quy tắc nhân lũy thừa khác cơ số: \[ a^\alpha \cdot b^\beta = (ab)^\alpha \text{ nếu } \beta = \alpha \] Đẳng thức này không đúng trong trường hợp tổng quát vì $\beta$ không nhất thiết phải bằng $\alpha$. Từ đó, chúng ta thấy rằng đẳng thức A là sai. Đáp án: A. $\frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha + \beta}$ Câu 2: Để rút gọn biểu thức \( P = x^{\frac{1}{2}} \sqrt[5]{x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại căn bậc năm dưới dạng lũy thừa: \[ \sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}} \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ P = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{5}} \] Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \[ x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{5}} = x^{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{5}\right)} \] Bước 4: Tính tổng của hai phân số: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{5}{10} + \frac{2}{10} = \frac{7}{10} \] Bước 5: Kết luận: \[ P = x^{\frac{7}{10}} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( x^{\frac{17}{10}} \) Tuy nhiên, theo các bước trên, đáp án đúng là: C. \( x^{\frac{7}{10}} \) Đáp án: C. \( x^{\frac{7}{10}} \) Câu 3: Để xác định hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ có đồ thị là đường cong nào trong các đường cong $(C_1), (C_2), (C_3),$ và $(C_4)$, ta cần dựa vào các tính chất của hàm số lôgarit cơ số $\frac{1}{2}$. 1. Tính chất của hàm số lôgarit cơ số $\frac{1}{2}$: - Hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ là hàm giảm vì cơ số $\frac{1}{2} < 1$. - Đồ thị của hàm số này đi qua điểm $(1, 0)$ vì $\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$. - Khi $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. - Khi $x \to +\infty$, $y \to -\infty$. 2. Phân tích các đường cong: - Đường cong $(C_1)$: Đi qua điểm $(1, 0)$, giảm từ trái sang phải, khi $x \to 0^+$ thì $y \to +\infty$, khi $x \to +\infty$ thì $y \to -\infty$. Điều này phù hợp với tính chất của hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. - Đường cong $(C_2)$: Đi qua điểm $(1, 0)$, tăng từ trái sang phải, khi $x \to 0^+$ thì $y \to -\infty$, khi $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$. Điều này không phù hợp với tính chất của hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. - Đường cong $(C_3)$: Đi qua điểm $(1, 0)$, tăng từ trái sang phải, khi $x \to 0^+$ thì $y \to -\infty$, khi $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$. Điều này không phù hợp với tính chất của hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. - Đường cong $(C_4)$: Đi qua điểm $(1, 0)$, giảm từ trái sang phải, khi $x \to 0^+$ thì $y \to -\infty$, khi $x \to +\infty$ thì $y \to +\infty$. Điều này không phù hợp với tính chất của hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. 3. Kết luận: - Đường cong $(C_1)$ là đường cong duy nhất thỏa mãn tất cả các tính chất của hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$. Vậy đáp án đúng là: D. $(C_1)$ Câu 4: Để giải phương trình $3^{x+1} = 3^{100}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: So sánh hai vế của phương trình. - Ta thấy rằng cả hai vế đều có cơ số là 3, do đó ta có thể so sánh các mũ của chúng. Bước 2: Xác định điều kiện để hai lũy thừa bằng nhau. - Nếu hai lũy thừa có cùng cơ số và bằng nhau thì các mũ của chúng cũng phải bằng nhau. Do đó, ta có: \[ x + 1 = 100 \] Bước 3: Giải phương trình $x + 1 = 100$. - Ta trừ 1 từ cả hai vế của phương trình: \[ x = 100 - 1 \] \[ x = 99 \] Vậy nghiệm của phương trình $3^{x+1} = 3^{100}$ là $x = 99$. Đáp án đúng là: D. 99. Câu 5: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = 9^x \), ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm mũ \( a^x \): \[ \left( a^x \right)' = a^x \ln(a) \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln(a) \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( y = 9^x \): \[ y' = (9^x)' = 9^x \ln(9) \] Vậy đáp án đúng là: C. \( y' = 9^x \ln(9) \) Đáp án: C. \( y' = 9^x \ln(9) \) Câu 6: Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{6x^2 - 7x + 1}{4x - 2} \), ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số \( y = \frac{u}{v} \) là: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 6x^2 - 7x + 1 \) - \( v = 4x - 2 \) Bước 1: Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 7x + 1) = 12x - 7 \] \[ v' = \frac{d}{dx}(4x - 2) = 4 \] Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(12x - 7)(4x - 2) - (6x^2 - 7x + 1) \cdot 4}{(4x - 2)^2} \] Bước 3: Thực hiện phép nhân và trừ trong tử số: \[ (12x - 7)(4x - 2) = 12x \cdot 4x + 12x \cdot (-2) - 7 \cdot 4x - 7 \cdot (-2) \] \[ = 48x^2 - 24x - 28x + 14 \] \[ = 48x^2 - 52x + 14 \] \[ (6x^2 - 7x + 1) \cdot 4 = 24x^2 - 28x + 4 \] \[ (12x - 7)(4x - 2) - (6x^2 - 7x + 1) \cdot 4 = 48x^2 - 52x + 14 - (24x^2 - 28x + 4) \] \[ = 48x^2 - 52x + 14 - 24x^2 + 28x - 4 \] \[ = 24x^2 - 24x + 10 \] Bước 4: Viết kết quả cuối cùng: \[ y' = \frac{24x^2 - 24x + 10}{(4x - 2)^2} \] Vậy đáp án đúng là: D. \( y' = \frac{24x^2 - 24x + 10}{(4x - 2)^2} \) Câu 7. Để giải phương trình $4^{4x-15} = 1024$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định cơ sở chung Ta nhận thấy rằng cả hai vế đều có thể viết dưới dạng lũy thừa của cơ số 2: \[ 4 = 2^2 \] \[ 1024 = 2^{10} \] Bước 2: Viết lại phương trình với cùng cơ số \[ 4^{4x-15} = (2^2)^{4x-15} = 2^{2(4x-15)} \] \[ 1024 = 2^{10} \] Bước 3: So sánh các mũ lũy thừa Do cơ số giống nhau, ta so sánh các mũ lũy thừa: \[ 2(4x - 15) = 10 \] Bước 4: Giải phương trình \[ 2(4x - 15) = 10 \] \[ 4x - 15 = 5 \] \[ 4x = 20 \] \[ x = 5 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 5 \). Đáp án đúng là: C. 5