Giúpppppppp

Câu 1. a) Đúng vì tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow i$ và $\overrightarrow j$ là vectơ $\overrightarrow k$. b) Sai vì $[\overrightarrow u,\overrightarrow i]=\begin{vmatrix}1&-2&-1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}=(-1;0;1).$ c) Đúng vì $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow u]=\begin{vmatrix}1&-2&-1\\1&-2&-1\\2&0&0\end{vmatrix}=(6;1;0).$ d) Đúng vì $[\overrightarrow {OA},\overrightarrow {OB}]=\begin{vmatrix}1&1&2\\1&-1&0\\2&-1&0\end{vmatrix}=(2;4;-3).$ Câu 2. a) Đúng vì theo định nghĩa, tích vector của hai vectơ trong mặt phẳng sẽ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. b) Sai vì để kiểm tra vectơ $\overrightarrow{n} = (1; 2; 3)$ có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) hay không, ta cần kiểm tra xem nó có vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ hay không. $\overrightarrow{AB} = (1 - (-1); -1 - 1; 2 - 0) = (2; -2; 2)$ $\overrightarrow{AC} = (1 - (-1); -2 - 1; 1 - 0) = (2; -3; 1)$ Kiểm tra xem $\overrightarrow{n}$ có vuông góc với $\overrightarrow{AB}$: $(1; 2; 3) \cdot (2; -2; 2) = 1 \times 2 + 2 \times (-2) + 3 \times 2 = 2 - 4 + 6 = 4 \neq 0$ Vậy $\overrightarrow{n}$ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC). c) Sai vì mặt phẳng đi qua O và chứa đường thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{AB}$. Ta có: $\overrightarrow{OA} = (-1; 1; 0)$ $\overrightarrow{AB} = (2; -2; 2)$ Tích vector của $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{AB}$ là: $[\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AB}] = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \end{vmatrix} = i(1 \times 2 - 0 \times (-2)) - j((-1) \times 2 - 0 \times 2) + k((-1) \times (-2) - 1 \times 2) = (2; 2; 0)$ Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $(2; 2; 0)$, không phải là $(1; 1; 0)$. d) Sai vì mặt phẳng song song với hai đường thẳng AB và OC sẽ có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OC}$. Ta có: $\overrightarrow{OC} = (1; -2; 1)$ Tích vector của $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{OC}$ là: $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{OC}] = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = i((-2) \times 1 - 2 \times (-2)) - j(2 \times 1 - 2 \times 1) + k(2 \times (-2) - (-2) \times 1) = (2; 0; -2)$ Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $(2; 0; -2)$, không phải là $(1; 2; 3)$. Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai. Câu 3. a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;1;1)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;3;2).$ Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(a;b;c)$ thì $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{AC}.$ Suy ra $\left\{\begin{matrix} a+b+c=0 & \\ 3b+2c=0 & \end{matrix}\right..$ Lấy $c=-3$ ta được $b=2,a=1.$ Phương trình mặt phẳng (ABC) là $1\times (x-1)+2\times (y+2)-3\times z=0,$ hay $x+2y-3z+3=0.$ b) Mặt phẳng ($\alpha$) qua A và vuông góc với BC có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}.$ Ta có $\overrightarrow{BC}=(-1;2;1).$ Phương trình mặt phẳng ($\alpha$) là $-1\times (x-1)+2\times (y+2)+1\times z=0,$ hay $x-2y-z-5=0.$ c) Mặt phẳng trung trực ($\beta$) của đoạn AC có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AC}.$ Phương trình mặt phẳng ($\beta$) là $0\times (x-1)+3\times (y-1)+2\times (z-2)=0,$ hay $3y+2z-7=0.$ d) Mặt phẳng ($\gamma$) chứa trục Ox và điểm C có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(a;b;c).$ Trục Ox có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i}=(1;0;0).$ Mặt phẳng ($\gamma$) chứa trục Ox nên $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{i}.$ Suy ra $a=0.$ Mặt phẳng ($\gamma$) đi qua điểm C nên $b\times 1+c\times 2=0.$ Lấy $c=1$ ta được $b=-2.$ Phương trình mặt phẳng ($\gamma$) là $-2\times y+1\times z=0,$ hay $2y-z=0.$ Câu 4. a) Ta có khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là: \[ d(A, (P)) = \frac{|2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 - 1 \cdot 3 + 3|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 4 - 3 + 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{6}{3} = 2 \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là 2, không phải 5. Do đó, đáp án này sai. b) Để kiểm tra xem hai mặt phẳng (P) và (Q) có cắt nhau hay không, ta xét xem vectơ pháp tuyến của chúng có cùng phương hay không. Vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n}_P = (2, 2, -1)$ và vectơ pháp tuyến của (Q) là $\vec{n}_Q = (1, 2, -2)$. Ta thấy rằng: \[ \vec{n}_P \neq k \cdot \vec{n}_Q \quad \text{(với mọi số thực } k) \] Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. Đáp án này đúng. c) Ta có khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là: \[ d((P), (R)) = \frac{|3 - 0|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{3}{3} = 1 \] Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (R) là 1, không phải 3. Do đó, đáp án này sai. d) Để kiểm tra xem hai mặt phẳng (P) và (T) có cắt nhau hay không, ta xét xem vectơ pháp tuyến của chúng có cùng phương hay không. Vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n}_P = (2, 2, -1)$ và vectơ pháp tuyến của (T) là $\vec{n}_T = (1, 1, m)$. Ta thấy rằng: \[ \vec{n}_P \neq k \cdot \vec{n}_T \quad \text{(với mọi số thực } k) \] Do đó, hai mặt phẳng (P) và (T) cắt nhau. Đáp án này đúng. Kết luận: - Đáp án a) sai. - Đáp án b) đúng. - Đáp án c) sai. - Đáp án d) đúng.