Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình chữ nhật, $A B=a, A D=2 a$ tam giác $S A B$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A D, D C$. Tín...

Trước tiên, ta xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.DMN$. 1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.DMN$: - Ta thấy rằng tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $ABCD$, do đó $SA = SB = AB = a$. - Vì $M$ là trung điểm của $AD$, nên $AM = MD = a$. - Vì $N$ là trung điểm của $DC$, nên $DN = NC = a$. - Ta thấy rằng $DM = a\sqrt{2}$ (vì $DM$ là đường chéo của hình vuông có cạnh $a$). 2. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.DMN$: - Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.DMN$ sẽ là giao điểm của các đường trung trực của các đoạn thẳng $SD$, $SM$, và $SN$. - Ta thấy rằng tam giác $SMD$ là tam giác vuông tại $D$ (vì $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy), do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp tam giác $SMD$ sẽ là trung điểm của $SM$. - Ta cũng thấy rằng tam giác $SND$ là tam giác vuông tại $D$, do đó tâm của mặt cầu ngoại tiếp tam giác $SND$ sẽ là trung điểm của $SN$. - Do đó, tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.DMN$ sẽ là trung điểm của $SD$. 3. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.DMN$: - Ta thấy rằng $SD = a\sqrt{3}$ (vì $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy). - Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.DMN$ sẽ là $\frac{SD}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.DMN$ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.