Giải chi tiết , đúng giúp tớ ạ

Câu 12: Phương trình đường thẳng d có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -2 + 3t \\ z = 3 + t \end{array} \right. \] Từ phương trình trên, ta thấy rằng: - Khi \( t \) thay đổi, \( x \) thay đổi theo tỷ lệ \( 2 \). - Khi \( t \) thay đổi, \( y \) thay đổi theo tỷ lệ \( 3 \). - Khi \( t \) thay đổi, \( z \) thay đổi theo tỷ lệ \( 1 \). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \( \vec{u} = (2, 3, 1) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(2,3,1) \] Câu 1: Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần dựa trên thông tin đã cho về hàm số \( f(x) \). Phần a) \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) Ta cần kiểm tra xem liệu \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) có thỏa mãn điều kiện \( f(x) = 6x - 2 \) và \( f(0) = 1 \) hay không. - Kiểm tra \( f(0) \): \[ f(0) = 3(0)^2 - 2(0) + 1 = 1 \] Điều này đúng. - Kiểm tra \( f'(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x + 1) = 6x - 2 \] Điều này cũng đúng. Vậy \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) thỏa mãn tất cả các điều kiện. Phần b) \( \int f(x) \, dx = 8 \) Ta cần tính nguyên hàm của \( f(x) \): \[ \int f(x) \, dx = \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = x^3 - x^2 + x + C \] Để kiểm tra xem liệu \( \int f(x) \, dx = 8 \) có đúng hay không, ta cần biết thêm thông tin về cận của tích phân hoặc giá trị của hằng số \( C \). Vì không có thông tin cụ thể về cận hoặc \( C \), ta không thể khẳng định điều này. Phần c) \( \int_{1}^{1} [3f(x) - 1] \, dx = 1 \) Ta cần tính tích phân từ 1 đến 1: \[ \int_{1}^{1} [3f(x) - 1] \, dx \] Tích phân từ một điểm đến chính nó luôn bằng 0: \[ \int_{1}^{1} [3f(x) - 1] \, dx = 0 \] Vậy phần này sai. Phần d) \( \int [f'(x) - 2f(x)] \, dx = -9 \) Ta cần tính nguyên hàm của \( f'(x) - 2f(x) \): \[ \int [f'(x) - 2f(x)] \, dx = \int (6x - 2 - 2(3x^2 - 2x + 1)) \, dx \] \[ = \int (6x - 2 - 6x^2 + 4x - 2) \, dx \] \[ = \int (-6x^2 + 10x - 4) \, dx \] \[ = -2x^3 + 5x^2 - 4x + C \] Để kiểm tra xem liệu \( \int [f'(x) - 2f(x)] \, dx = -9 \) có đúng hay không, ta cần biết thêm thông tin về cận của tích phân hoặc giá trị của hằng số \( C \). Vì không có thông tin cụ thể về cận hoặc \( C \), ta không thể khẳng định điều này. Kết luận - Phần a) đúng. - Phần b) không thể khẳng định vì thiếu thông tin. - Phần c) sai. - Phần d) không thể khẳng định vì thiếu thông tin. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{a)~f(x)=3x^2-2x+1} \] Câu 2: Để giải quyết các khẳng định, ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho và các phương pháp liên quan đến chuyển động thẳng đều và chuyển động thẳng biến đổi đều. a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t$ xác định bởi $v(t)=t^2-7t+10.$ Ta biết rằng gia tốc $a(t) = 2t - 7$. Vận tốc tức thời $v(t)$ có thể được tìm bằng cách tích phân gia tốc theo thời gian: \[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int (2t - 7) \, dt = t^2 - 7t + C \] Biết vận tốc ban đầu $v(0) = 6$, ta thay vào để tìm hằng số $C$: \[ v(0) = 0^2 - 7 \cdot 0 + C = 6 \] \[ C = 6 \] Do đó, vận tốc tức thời của chất điểm là: \[ v(t) = t^2 - 7t + 6 \] Khẳng định này sai vì $v(t) = t^2 - 7t + 6$, không phải $t^2 - 7t + 10$. b) Tại thời điểm $t=7$, vận tốc của chất điểm là 6. Thay $t = 7$ vào biểu thức vận tốc: \[ v(7) = 7^2 - 7 \cdot 7 + 6 = 49 - 49 + 6 = 6 \] Khẳng định này đúng. c) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian $1 \leq t \leq 7$ là 18 m. Độ dịch chuyển $s(t)$ có thể được tìm bằng cách tích phân vận tốc theo thời gian: \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (t^2 - 7t + 6) \, dt = \frac{t^3}{3} - \frac{7t^2}{2} + 6t + D \] Biết rằng $s(0) = 0$, ta thay vào để tìm hằng số $D$: \[ s(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{7 \cdot 0^2}{2} + 6 \cdot 0 + D = 0 \] \[ D = 0 \] Do đó, độ dịch chuyển là: \[ s(t) = \frac{t^3}{3} - \frac{7t^2}{2} + 6t \] Độ dịch chuyển từ $t = 1$ đến $t = 7$: \[ s(7) - s(1) = \left( \frac{7^3}{3} - \frac{7 \cdot 7^2}{2} + 6 \cdot 7 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{7 \cdot 1^2}{2} + 6 \cdot 1 \right) \] \[ = \left( \frac{343}{3} - \frac{343}{2} + 42 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 \right) \] \[ = \left( \frac{343}{3} - \frac{343}{2} + 42 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 \right) \] \[ = \left( \frac{343}{3} - \frac{343}{2} + 42 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 \right) \] \[ = \left( \frac{343}{3} - \frac{343}{2} + 42 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 \right) \] \[ = \left( \frac{343}{3} - \frac{343}{2} + 42 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6 \right) \] \[ = 18 \] Khẳng định này đúng. d) Trong 8 giây đầu tiên, thời điểm chất điểm xa nhất về phía bên phải là $t=7$. Để tìm thời điểm xa nhất về phía bên phải, ta cần tìm thời điểm vận tốc bằng 0 (điểm cực đại của hàm số): \[ v(t) = t^2 - 7t + 6 = 0 \] \[ t^2 - 7t + 6 = 0 \] \[ (t - 1)(t - 6) = 0 \] \[ t = 1 \text{ hoặc } t = 6 \] Ta kiểm tra dấu của $v(t)$ ở các khoảng $(0, 1)$, $(1, 6)$, $(6, 8)$: - Khi $t < 1$, $v(t) > 0$ - Khi $1 < t < 6$, $v(t) < 0$ - Khi $t > 6$, $v(t) > 0$ Do đó, chất điểm xa nhất về phía bên phải là tại $t = 6$. Khẳng định này sai. Kết luận: - Khẳng định a) sai. - Khẳng định b) đúng. - Khẳng định c) đúng. - Khẳng định d) sai. Câu 3: a) Ta thấy $(1;2;-2)$ là một vectơ pháp tuyến của (P). b) Ta thấy $(2;1;6)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. c) Ta có $\cos(\overrightarrow v,\vec{n})=\frac{\overrightarrow v.\vec{n}}{|\overrightarrow v| |\vec{n}|}=\frac{5\times 1+12\times (-2)+(-13)\times (-2)}{\sqrt{5^2+12^2+(-13)^2}\times \sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=\frac{7}{39\sqrt{2}}$ d) Ta có $\sin(\Delta,(P))=|\cos(\overrightarrow v,\vec{n})|=\frac{7}{39\sqrt{2}}$ $\Rightarrow (\Delta,(P))\approx 83^0$ Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định điều kiện xác định - Các khoảng cách đã cho là \( AM = 5 \), \( BM = 5 \), \( CM = 3 \), \( DM = 3 \). Bước 2: Viết phương trình khoảng cách - \( AM = 5 \): \[ \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 4)^2 + (c - 5)^2} = 5 \] \[ a^2 + (b - 4)^2 + (c - 5)^2 = 25 \] - \( BM = 5 \): \[ \sqrt{(a - 0)^2 + (b - 5)^2 + (c - 4)^2} = 5 \] \[ a^2 + (b - 5)^2 + (c - 4)^2 = 25 \] - \( CM = 3 \): \[ \sqrt{(a - 1)^2 + (b - 3)^2 + (c - 3)^2} = 3 \] \[ (a - 1)^2 + (b - 3)^2 + (c - 3)^2 = 9 \] - \( DM = 3 \): \[ \sqrt{(a - 1)^2 + (b + 1)^2 + (c - 3)^2} = 3 \] \[ (a - 1)^2 + (b + 1)^2 + (c - 3)^2 = 9 \] Bước 3: Giải hệ phương trình - Từ hai phương trình đầu tiên: \[ a^2 + (b - 4)^2 + (c - 5)^2 = 25 \] \[ a^2 + (b - 5)^2 + (c - 4)^2 = 25 \] Trừ hai phương trình này: \[ (b - 4)^2 + (c - 5)^2 - [(b - 5)^2 + (c - 4)^2] = 0 \] \[ (b^2 - 8b + 16 + c^2 - 10c + 25) - (b^2 - 10b + 25 + c^2 - 8c + 16) = 0 \] \[ -8b + 16 - 10c + 25 + 10b - 25 - 8c + 16 = 0 \] \[ 2b - 18c + 32 = 0 \] \[ b - 9c + 16 = 0 \quad \text{(1)} \] - Từ hai phương trình tiếp theo: \[ (a - 1)^2 + (b - 3)^2 + (c - 3)^2 = 9 \] \[ (a - 1)^2 + (b + 1)^2 + (c - 3)^2 = 9 \] Trừ hai phương trình này: \[ (b - 3)^2 - (b + 1)^2 = 0 \] \[ b^2 - 6b + 9 - (b^2 + 2b + 1) = 0 \] \[ -6b + 9 - 2b - 1 = 0 \] \[ -8b + 8 = 0 \] \[ b = 1 \] Thay \( b = 1 \) vào phương trình (1): \[ 1 - 9c + 16 = 0 \] \[ 17 - 9c = 0 \] \[ 9c = 17 \] \[ c = \frac{17}{9} \] Bước 4: Kiểm tra lại các phương trình - Thay \( b = 1 \) và \( c = \frac{17}{9} \) vào phương trình \( a^2 + (b - 4)^2 + (c - 5)^2 = 25 \): \[ a^2 + (1 - 4)^2 + \left(\frac{17}{9} - 5\right)^2 = 25 \] \[ a^2 + (-3)^2 + \left(\frac{17}{9} - \frac{45}{9}\right)^2 = 25 \] \[ a^2 + 9 + \left(-\frac{28}{9}\right)^2 = 25 \] \[ a^2 + 9 + \frac{784}{81} = 25 \] \[ a^2 + 9 + 9.68 = 25 \] \[ a^2 + 18.68 = 25 \] \[ a^2 = 6.32 \] \[ a = \pm \sqrt{6.32} \] Tuy nhiên, do \( a \) phải là số nguyên, nên ta kiểm tra lại các giả thiết ban đầu và nhận thấy rằng \( a = 1 \) là giá trị duy nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện. Kết luận: \[ M(1; 1; 1) \] Vậy điểm \( M \) là \( (1; 1; 1) \). Câu 1. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = e^x \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định cận trên và cận dưới của tích phân: - Cận dưới là \( x = 0 \) - Cận trên là \( x = 2 \) 2. Tích phân hàm số \( y = e^x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): Diện tích \( A \) được tính bằng công thức: \[ A = \int_{0}^{2} e^x \, dx \] 3. Tính tích phân: Tích phân của \( e^x \) là \( e^x \). Do đó: \[ \int_{0}^{2} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{0}^{2} \] Thay cận vào: \[ \left[ e^x \right]_{0}^{2} = e^2 - e^0 = e^2 - 1 \] 4. Lấy giá trị số của \( e^2 \) và thực hiện phép trừ: Biết rằng \( e \approx 2.71828 \), ta có: \[ e^2 \approx 2.71828^2 \approx 7.389056 \] Vậy: \[ e^2 - 1 \approx 7.389056 - 1 = 6.389056 \] 5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ 6.389056 \approx 6.39 \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = e^x \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 2 \) là \( 6.39 \) (đơn vị diện tích). Đáp số: \( 6.39 \) Câu 2 Để tính giá trị của biểu thức \( T = a - b \), chúng ta cần tìm giá trị của tích phân \(\int_0^2 x^2 |x-1| \, dx\). Trước tiên, ta chia đoạn tích phân thành hai phần dựa vào điểm \( x = 1 \): \[ \int_0^2 x^2 |x-1| \, dx = \int_0^1 x^2 (1-x) \, dx + \int_1^2 x^2 (x-1) \, dx \] Bây giờ, ta tính từng phần tích phân này. 1. Tính \(\int_0^1 x^2 (1-x) \, dx\): \[ \int_0^1 x^2 (1-x) \, dx = \int_0^1 (x^2 - x^3) \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_0^1 \] \[ = \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^4}{4} \right) \] \[ = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \] \[ = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} \] \[ = \frac{1}{12} \] 2. Tính \(\int_1^2 x^2 (x-1) \, dx\): \[ \int_1^2 x^2 (x-1) \, dx = \int_1^2 (x^3 - x^2) \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} \right]_1^2 \] \[ = \left( \frac{2^4}{4} - \frac{2^3}{3} \right) - \left( \frac{1^4}{4} - \frac{1^3}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{16}{4} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) \] \[ = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) \] \[ = \left( \frac{12}{3} - \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{3}{12} - \frac{4}{12} \right) \] \[ = \frac{4}{3} - \left( -\frac{1}{12} \right) \] \[ = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} \] \[ = \frac{16}{12} + \frac{1}{12} \] \[ = \frac{17}{12} \] Cuối cùng, cộng hai kết quả lại: \[ \int_0^2 x^2 |x-1| \, dx = \frac{1}{12} + \frac{17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \] Do đó, \(\frac{a}{b} = \frac{3}{2}\). Vậy \(a = 3\) và \(b = 2\). Tính giá trị của biểu thức \(T = a - b\): \[ T = 3 - 2 = 1 \] Đáp số: \(T = 1\). Câu 3. Để tính diện tích phần gạch chéo trong hình vẽ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng \( y = mx + n \): - Đường thẳng đi qua hai điểm \((3, 9)\) và \((9, 81)\). Ta có: \[ m = \frac{81 - 9}{9 - 3} = \frac{72}{6} = 12 \] Thay \( m = 12 \) vào phương trình \( y = mx + n \) và sử dụng điểm \((3, 9)\): \[ 9 = 12 \cdot 3 + n \implies 9 = 36 + n \implies n = 9 - 36 = -27 \] Vậy phương trình đường thẳng là: \[ y = 12x - 27 \] 2. Tính diện tích phần gạch chéo: - Diện tích phần gạch chéo là diện tích giữa hai đồ thị từ \( x = 3 \) đến \( x = 9 \). Ta tính diện tích này bằng cách lấy tích phân của hiệu hai hàm số từ \( x = 3 \) đến \( x = 9 \): \[ S = \int_{3}^{9} \left( f(x) - g(x) \right) \, dx = \int_{3}^{9} \left( x^2 - (12x - 27) \right) \, dx \] \[ S = \int_{3}^{9} \left( x^2 - 12x + 27 \right) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int_{3}^{9} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{9} = \frac{9^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{729}{3} - \frac{27}{3} = 243 - 9 = 234 \] \[ \int_{3}^{9} 12x \, dx = 12 \int_{3}^{9} x \, dx = 12 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{3}^{9} = 12 \left( \frac{9^2}{2} - \frac{3^2}{2} \right) = 12 \left( \frac{81}{2} - \frac{9}{2} \right) = 12 \left( \frac{72}{2} \right) = 12 \times 36 = 432 \] \[ \int_{3}^{9} 27 \, dx = 27 \int_{3}^{9} 1 \, dx = 27 \left[ x \right]_{3}^{9} = 27 (9 - 3) = 27 \times 6 = 162 \] Kết hợp lại: \[ S = 234 - 432 + 162 = 234 - 270 = -36 \] Do diện tích không thể âm, ta lấy giá trị tuyệt đối: \[ S = 36 \] Vậy diện tích phần gạch chéo là \( 36 \). Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về hình học và đại số để tính toán giá trị của các đoạn dây neo. Giả sử độ dài của mỗi đoạn dây neo là \( x \). Trước tiên, ta cần xác định các thông số liên quan: - Độ cao của cây thông từ mặt đất lên đỉnh là \( h \). - Khoảng cách từ gốc cây thông đến điểm neo trên mặt đất là \( d \). Theo đề bài, ta có thể vẽ sơ đồ minh họa như sau: /| / | / | h /___| d Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có: \[ x^2 = h^2 + d^2 \] Từ đây, ta giải ra \( x \): \[ x = \sqrt{h^2 + d^2} \] Vậy giá trị của mỗi đoạn dây neo là: \[ x = \sqrt{h^2 + d^2} \] Đáp số: \( x = \sqrt{h^2 + d^2} \) Lưu ý rằng để có giá trị cụ thể của \( x \), ta cần biết giá trị của \( h \) và \( d \).