Giúp mình với!

Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các đường thẳng AC và B'D' là hai đường chéo của hai mặt phẳng song song (mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (A'B'C'D')). Do đó, góc giữa hai đường thẳng này sẽ là góc giữa hai đường chéo của một hình vuông. Ta xét hình vuông ABCD: - Đường thẳng AC là đường chéo của hình vuông ABCD. - Đường thẳng B'D' là đường chéo của hình vuông A'B'C'D'. Trong hình vuông, hai đường chéo cắt nhau và vuông góc với nhau. Vì vậy, góc giữa hai đường thẳng AC và B'D' là 90°. Đáp án đúng là: A. $~90^0$. Câu 6. Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. - A'C' là đường chéo của mặt trên của hình lập phương. - B'C là đường thẳng nối đỉnh B' của mặt bên với đỉnh C của đáy. Ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng này bằng cách sử dụng tính chất của hình lập phương và các phép toán vector. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử cạnh lập phương có độ dài là 1. - A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0) - A'(0, 0, 1), B'(1, 0, 1), C'(1, 1, 1), D'(0, 1, 1) 2. Tìm vector của các đường thẳng: - Vector A'C' = C' - A' = (1, 1, 1) - (0, 0, 1) = (1, 1, 0) - Vector B'C = C - B' = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1) 3. Tính tích vô hướng của hai vector: - A'C' . B'C = (1, 1, 0) . (0, 1, -1) = 10 + 11 + 0(-1) = 1 4. Tính độ dài của hai vector: - |A'C'| = $\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ - |B'C| = $\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ 5. Áp dụng công thức cos của góc giữa hai vector: - cos(a) = $\frac{A'C' . B'C}{|A'C'| |B'C|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$ Vậy, cos(a) = $\frac{1}{2}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{1}{2}$ Câu 7. Trước tiên, ta xét các đường thẳng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D' để xác định các khẳng định đúng và sai. A. \(CA' \bot BD\): - \(CA'\) là đường chéo của mặt phẳng ABB'A'. - \(BD\) là đường chéo của mặt phẳng ABCD. - Vì \(CA'\) và \(BD\) nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của chúng, nên \(CA' \bot BD\). Khẳng định này là đúng. B. \(CD' \bot AB'\): - \(CD'\) là đường chéo của mặt phẳng CDD'C'. - \(AB'\) là đường chéo của mặt phằng ABB'A'. - Vì \(CD'\) và \(AB'\) nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của chúng, nên \(CD' \bot AB'\). Khẳng định này là đúng. C. \(BD' \bot CA'\): - \(BD'\) là đường chéo của mặt phẳng BCC'B'. - \(CA'\) là đường chéo của mặt phẳng ABB'A'. - Vì \(BD'\) và \(CA'\) nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của chúng, nên \(BD' \bot CA'\). Khẳng định này là đúng. D. \(BD \bot AC'\): - \(BD\) là đường chéo của mặt phẳng ABCD. - \(AC'\) là đường chéo của mặt phẳng ACC'A'. - \(BD\) và \(AC'\) không vuông góc với nhau vì chúng nằm trên hai mặt phẳng không vuông góc với nhau. Khẳng định này là sai. Vậy khẳng định sai là: D. \(BD \bot AC'\). Đáp án: D. \(BD \bot AC'\). Câu 8. Để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11, chúng ta sẽ tuân thủ các quy tắc đã nêu. Dưới đây là một ví dụ về cách áp dụng các quy tắc này trong quá trình giải bài toán. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Cách giải: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Vậy ĐKXĐ là \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai có hệ số \( a = -1 < 0 \), nên đồ thị của nó là một parabol mở xuống. Giá trị lớn nhất của hàm số đạt tại đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). Ở đây, \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 5 \). Tọa độ đỉnh: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào hàm số để tìm giá trị lớn nhất: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của hàm số là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Câu 31: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. A. Nếu $c \perp (\alpha)$ thì $c \perp a$. - Nếu đường thẳng $c$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$, thì $c$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$. Vì $a$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$, nên $c \perp a$. Mệnh đề này đúng. B. Nếu $c // a$ hoặc $c // b$ thì $c // (\alpha)$. - Nếu $c$ song song với $a$ hoặc $b$, và cả $a$ và $b$ đều nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$, thì $c$ cũng sẽ song song với mặt phẳng $(\alpha)$. Mệnh đề này đúng. C. Nếu $c \perp a$ và $c \perp b$ thì $c \perp (\alpha)$. - Nếu $c$ vuông góc với hai đường thẳng $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$, và $a$ và $b$ cắt nhau, thì $c$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$. Tuy nhiên, nếu $a$ và $b$ song song thì không đủ điều kiện để kết luận $c \perp (\alpha)$. Mệnh đề này sai vì chưa chắc chắn $a$ và $b$ cắt nhau. D. Nếu $c \perp (\alpha)$ thì $c \perp b$. - Nếu $c$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$, thì $c$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$. Vì $b$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$, nên $c \perp b$. Mệnh đề này đúng. Vậy mệnh đề sai là: C. Nếu $c \perp a$ và $c \perp b$ thì $c \perp (\alpha)$. Đáp án: C. Câu 9. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào là sai. A. Nếu $b \subset (P)$ thì $b \bot a$: - Vì $a \bot (P)$, nghĩa là đường thẳng $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$. Do đó, nếu $b \subset (P)$, thì $b \bot a$. Mệnh đề này đúng. B. Nếu $a \bot b$ thì $b // (P)$: - Nếu $a \bot b$, điều này không đủ để kết luận rằng $b // (P)$. Đường thẳng $b$ có thể nằm trong mặt phẳng $(P)$ hoặc vuông góc với $a$ nhưng không song song với $(P)$. Mệnh đề này sai. C. Nếu $b // a$ thì $b \bot (P)$: - Nếu $b // a$ và $a \bot (P)$, thì $b$ cũng phải vuông góc với $(P)$. Mệnh đề này đúng. D. Nếu $b \bot (P)$ thì $a // b$: - Nếu $b \bot (P)$ và $a \bot (P)$, thì $a$ và $b$ phải song song với nhau. Mệnh đề này đúng. Vậy mệnh đề sai là: B. Nếu $a \bot b$ thì $b // (P)$ Đáp án: B. Câu 5. Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đã đưa ra và giải quyết từng bài toán theo trình tự. Dưới đây là ví dụ về cách giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số bậc hai, phù hợp với trình độ lớp 11. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Cách giải: 1. Xác định dạng của hàm số: Hàm số \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \), trong đó \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 5 \). 2. Xác định hướng của parabol: Vì hệ số \( a = -1 < 0 \), nên đồ thị của hàm số là một parabol mở xuống. Điều này có nghĩa là hàm số có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol và không có giá trị nhỏ nhất. 3. Tìm tọa độ đỉnh của parabol: Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) được tính bằng công thức: \[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a} \] Thay \( a = -1 \) và \( b = 4 \) vào công thức: \[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] 4. Tính giá trị của hàm số tại đỉnh: Thay \( x = 2 \) vào hàm số \( f(x) \): \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] 5. Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 9, đạt được khi \( x = 2 \). - Hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì parabol mở xuống. Đáp số: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 9, đạt được khi \( x = 2 \). - Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Trên đây là cách giải chi tiết cho bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số bậc hai, phù hợp với trình độ lớp 11. Câu 10. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào đúng. A. Nếu $a//(P)$ và $b\bot a$ thì $b\bot(P).$ - Điều này không đúng vì nếu $a$ song song với $(P)$ và $b$ vuông góc với $a$, $b$ có thể nằm trong $(P)$ hoặc vuông góc với $(P)$ nhưng không chắc chắn là vuông góc với $(P)$. B. Nếu $a//(P)$ và $b//(P)$ thì $b//a.$ - Điều này không đúng vì hai đường thẳng song song với cùng một mặt phẳng không nhất thiết phải song song với nhau. Chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. C. Nếu $a//(P)$ và $b\bot(P)$ thì $a\bot b.$ - Điều này đúng vì nếu $a$ song song với $(P)$ và $b$ vuông góc với $(P)$, thì $b$ sẽ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ hoặc song song với $(P)$, do đó $a$ vuông góc với $b$. D. Nếu $a\bot(P)$ và $b\bot a$ thì $b//(P).$ - Điều này không đúng vì nếu $a$ vuông góc với $(P)$ và $b$ vuông góc với $a$, $b$ có thể nằm trong $(P)$ hoặc song song với $(P)$ nhưng không chắc chắn là song song với $(P)$. Vậy mệnh đề đúng là: C. Nếu $a//(P)$ và $b\bot(P)$ thì $a\bot b.$ Đáp án: C. Câu 12: Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc đã đưa ra để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11. Dưới đây là ví dụ về cách áp dụng các quy tắc này trong quá trình giải bài toán. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). Bước 1: Xác định miền xác định Hàm số \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) là một hàm đa thức, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số \[ f'(x) = 2x - 4 \] Bước 3: Tìm điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 2x - 4 = 0 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \] Bước 4: Xét dấu đạo hàm để xác định tính chất của các điểm cực trị - Khi \( x < 2 \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số giảm) - Khi \( x > 2 \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số tăng) Do đó, tại \( x = 2 \), hàm số đạt cực tiểu. Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực trị \[ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] Bước 6: Kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-1\), đạt được khi \( x = 2 \). - Hàm số \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) là một parabol mở lên, do đó không có giá trị lớn nhất. Đáp số: - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(-1\), đạt được khi \( x = 2 \). - Hàm số không có giá trị lớn nhất. Ví dụ: Giải phương trình \( \frac{x+1}{x-2} = \frac{x-3}{x+4} \). Bước 1: Xác định điều kiện xác định Phân thức xác định khi mẫu số khác 0: \[ x \neq 2 \quad \text{và} \quad x \neq -4 \] Bước 2: Nhân cả hai vế với \((x-2)(x+4)\) để loại bỏ mẫu số \[ (x+1)(x+4) = (x-3)(x-2) \] Bước 3: Rút gọn và giải phương trình \[ x^2 + 5x + 4 = x^2 - 5x + 6 \] \[ 5x + 4 = -5x + 6 \] \[ 10x = 2 \] \[ x = \frac{1}{5} \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định \( x = \frac{1}{5} \) thỏa mãn điều kiện \( x \neq 2 \) và \( x \neq -4 \). Đáp số: \[ x = \frac{1}{5} \] Ví dụ: Giải hệ phương trình \( \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \). Bước 1: Đặt ẩn số Gọi \( x \) và \( y \) là hai số cần tìm. Bước 2: Lập hệ phương trình \[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \] Bước 3: Giải hệ phương trình Cộng hai phương trình: \[ (x + y) + (x - y) = 5 + 1 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = 3 \] Thay \( x = 3 \) vào phương trình \( x + y = 5 \): \[ 3 + y = 5 \] \[ y = 2 \] Đáp số: \[ x = 3, \quad y = 2 \] Kết luận Trên đây là các ví dụ minh họa cách áp dụng các quy tắc đã đưa ra để giải quyết các bài toán một cách chính xác, hiệu quả và phù hợp với trình độ của học sinh lớp 11. Câu 11. Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một: A. Cho 3 đường thẳng a, b, c đôi một vuông góc với nhau. Nếu có một đường thẳng d vuông góc với a thì d song song với b hoặc c. - Ta thấy rằng nếu có một đường thẳng d vuông góc với a, thì d không nhất thiết phải song song với b hoặc c. Dù sao đi nữa, d cũng có thể vuông góc với cả b và c hoặc nằm trong một mặt phẳng khác. Do đó, mệnh đề này sai. B. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c, thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c. - Ta thấy rằng nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c, thì đường thẳng a không nhất thiết phải vuông góc với đường thẳng c. Dù sao đi nữa, a và c có thể song song hoặc nằm trong một mặt phẳng khác. Do đó, mệnh đề này sai. C. Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau. Một đường thẳng c vuông góc với a thì c vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a, b). - Ta thấy rằng nếu hai đường thẳng a và b song song với nhau và đường thẳng c vuông góc với a, thì đường thẳng c cũng vuông góc với b. Tuy nhiên, đường thẳng c không nhất thiết phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (a, b). Do đó, mệnh đề này sai. D. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng c song song với đường thẳng b, thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c. - Ta thấy rằng nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng c song song với đường thẳng b, thì đường thẳng a cũng vuông góc với đường thẳng c. Điều này là do tính chất của đường thẳng vuông góc và song song. Do đó, mệnh đề này đúng. Vậy, mệnh đề đúng là: D. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng c song song với đường thẳng b, thì đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c. Câu 29: Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng một mặt phẳng vuông góc với một đường thẳng sẽ chứa đường thẳng đó hoặc vuông góc với đường thẳng đó tại một điểm. Trong trường hợp này, chúng ta có một điểm O và một đường thẳng d. Chúng ta cần tìm số mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d. 1. Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng nếu một mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d, thì đường thẳng d phải nằm trong mặt phẳng đó hoặc vuông góc với mặt phẳng đó tại điểm O. 2. Ta có thể tưởng tượng rằng từ điểm O, ta có thể vẽ nhiều mặt phẳng khác nhau, mỗi mặt phẳng đều vuông góc với đường thẳng d. Mỗi mặt phẳng này sẽ chứa đường thẳng d hoặc vuông góc với đường thẳng d tại điểm O. 3. Do đó, có vô số mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d. Vậy đáp án đúng là: A. vô số Đáp số: A. vô số Câu 12. Để xác định mệnh đề nào sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. - Đây là một mệnh đề đúng. Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng, thì chúng phải song song với nhau. B. Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì các đường thẳng song song với đường thẳng đó cũng vuông góc với mặt phẳng đã cho. - Đây cũng là một mệnh đề đúng. Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, thì tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng đó cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng đó. C. Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng song song với mặt phẳng đã cho. - Đây là một mệnh đề sai. Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, thì đường thẳng đó chỉ vuông góc với các đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó hoặc vuông góc với các đường thẳng cắt qua mặt phẳng đó. Các đường thẳng song song với mặt phẳng đó không nhất thiết phải vuông góc với đường thẳng đã cho. Vậy mệnh đề sai là: C. Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng song song với mặt phẳng đã cho. Đáp án: C.