Djdjfnfnfnfndnd

Câu 1: Để tìm giá trị của \(a + b - c\), chúng ta cần biết rằng \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\). Điều này có nghĩa là đạo hàm của \(F(x)\) sẽ bằng \(f(x)\). Bước 1: Tính đạo hàm của \(F(x)\). \[ F(x) = \frac{2x^2 - 3x + 6}{x} = 2x - 3 + \frac{6}{x} \] Tính đạo hàm của \(F(x)\): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}\left(2x - 3 + \frac{6}{x}\right) = 2 - \frac{6}{x^2} \] Bước 2: So sánh đạo hàm của \(F(x)\) với \(f(x)\). Ta có: \[ f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x^2} = a + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2} \] So sánh với \(F'(x) = 2 - \frac{6}{x^2}\), ta nhận thấy: \[ a = 2 \] \[ b = 0 \] \[ c = -6 \] Bước 3: Tính giá trị của \(a + b - c\). \[ a + b - c = 2 + 0 - (-6) = 2 + 6 = 8 \] Vậy giá trị của \(a + b - c\) là 8. Đáp số: \(a + b - c = 8\). Câu 2: Để tính thể tích của chậu cây được tạo ra bằng cách quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x} + 2$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$ và $x = 4$ quanh trục hoành, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân. Bước 1: Xác định hàm số và khoảng tích phân Hàm số: $y = \sqrt{x} + 2$ Khoảng tích phân: từ $x = 0$ đến $x = 4$ Bước 2: Tính thể tích bằng phương pháp tích phân Thể tích $V$ của vật thể được tạo ra bằng cách quay một hình phẳng quanh trục hoành có công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, $f(x) = \sqrt{x} + 2$, $a = 0$, và $b = 4$. Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x} + 2)^2 \, dx \] Bước 3: Tính tích phân \[ (\sqrt{x} + 2)^2 = x + 4\sqrt{x} + 4 \] Do đó: \[ V = \pi \int_{0}^{4} (x + 4\sqrt{x} + 4) \, dx \] Chúng ta sẽ tính từng phần của tích phân này: \[ \int_{0}^{4} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 8 \] \[ \int_{0}^{4} 4\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{4} x^{1/2} \, dx = 4 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{4} = 4 \left( \frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3/2} \right) = 4 \left( \frac{2}{3} \cdot 8 \right) = \frac{64}{3} \] \[ \int_{0}^{4} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]_{0}^{4} = 4 \cdot (4 - 0) = 16 \] Bước 4: Cộng các kết quả lại \[ V = \pi \left( 8 + \frac{64}{3} + 16 \right) = \pi \left( 8 + 16 + \frac{64}{3} \right) = \pi \left( 24 + \frac{64}{3} \right) = \pi \left( \frac{72}{3} + \frac{64}{3} \right) = \pi \left( \frac{136}{3} \right) = \frac{136\pi}{3} \] Bước 5: Làm tròn kết quả \[ V \approx \frac{136 \times 3.14159}{3} \approx \frac{426.368}{3} \approx 142.123 \] Vậy thể tích của chậu cây là khoảng 142 đềximet khối (đơn vị làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 142 đềximet khối. Câu 3: Để tìm chênh lệch lợi nhuận khi bán 100 tấn sản phẩm so với khi bán 50 tấn sản phẩm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính lợi nhuận khi bán 100 tấn sản phẩm: \[ P(100) = 18 - 0,04 \times 100 = 18 - 4 = 14 \text{ (triệu đồng)} \] 2. Tính lợi nhuận khi bán 50 tấn sản phẩm: \[ P(50) = 18 - 0,04 \times 50 = 18 - 2 = 16 \text{ (triệu đồng)} \] 3. Tìm chênh lệch lợi nhuận giữa hai trường hợp: \[ \Delta P = P(100) - P(50) = 14 - 16 = -2 \text{ (triệu đồng)} \] Vậy chênh lệch lợi nhuận khi bán 100 tấn sản phẩm so với khi bán 50 tấn sản phẩm là -2 triệu đồng. Đáp số: -2 triệu đồng. Câu 4: Để tìm giá trị của \(a - m\) trong phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) và đi qua điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AM}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M: Ta có \(\overrightarrow{AB} = B - A = (1-0, 1-1, 2+1) = (1, 0, 3)\). Vì \(\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AM}\), ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \left(\frac{1}{3}, 0, 1\right) \] Tọa độ của điểm M là: \[ M = A + \overrightarrow{AM} = (0, 1, -1) + \left(\frac{1}{3}, 0, 1\right) = \left(\frac{1}{3}, 1, 0\right) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD): Vectơ \(\overrightarrow{BC} = C - B = (1-1, -1-1, 0-2) = (0, -2, -2)\). Vectơ \(\overrightarrow{BD} = D - B = (0-1, 0-1, 1-2) = (-1, -1, -1)\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 - 2) - \mathbf{j}(0 - 2) + \mathbf{k}(0 - 2) = (0, 2, -2) \] 3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (BCD) nên có cùng vectơ pháp tuyến \((0, 2, -2)\). Do đó, phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) có dạng: \[ 0x + 2y - 2z + d = 0 \quad \text{hoặc} \quad y - z + d = 0 \] Vì mặt phẳng (Q) đi qua điểm \(M\left(\frac{1}{3}, 1, 0\right)\), thay tọa độ của M vào phương trình: \[ 1 - 0 + d = 0 \implies d = -1 \] Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là: \[ y - z - 1 = 0 \] 4. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là \(ax + y - z + m = 0\). So sánh với \(y - z - 1 = 0\), ta có: \[ a = 0, \quad m = -1 \] Do đó, giá trị của \(a - m\) là: \[ a - m = 0 - (-1) = 1 \] Đáp số: \(a - m = 1\). Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \): - Đường thẳng \( d_1 \) có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u_1} = (1, 2, 1) \). - Đường thẳng \( d_2 \) có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u_2} = (1, 2, 2) \). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta \): - Đường thẳng \( \Delta \) đi qua điểm \( A(1, 0, 2) \) và cắt \( d_1 \). Gọi giao điểm của \( \Delta \) và \( d_1 \) là \( B(x_1, y_1, z_1) \). - Đường thẳng \( \Delta \) vuông góc với \( d_2 \), do đó \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0 \). 3. Tìm tọa độ của điểm \( B \): - Điểm \( B \) thuộc \( d_1 \), nên có dạng \( B(1 + t, -1 + 2t, t) \) với \( t \) là tham số. - Vectơ \( \overrightarrow{AB} = (1 + t - 1, -1 + 2t - 0, t - 2) = (t, -1 + 2t, t - 2) \). 4. Áp dụng điều kiện vuông góc: - \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{u_2} = 0 \): \[ (t, -1 + 2t, t - 2) \cdot (1, 2, 2) = 0 \] \[ t + 2(-1 + 2t) + 2(t - 2) = 0 \] \[ t - 2 + 4t + 2t - 4 = 0 \] \[ 7t - 6 = 0 \] \[ t = \frac{6}{7} \] 5. Tìm tọa độ của điểm \( B \): - Thay \( t = \frac{6}{7} \) vào tọa độ của \( B \): \[ B\left(1 + \frac{6}{7}, -1 + 2 \cdot \frac{6}{7}, \frac{6}{7}\right) = B\left(\frac{13}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\right) \] 6. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta \): - Vectơ \( \overrightarrow{AB} = \left(\frac{13}{7} - 1, \frac{5}{7} - 0, \frac{6}{7} - 2\right) = \left(\frac{6}{7}, \frac{5}{7}, -\frac{8}{7}\right) \). 7. Chọn \( a, b, c \) sao cho \( \frac{a}{b} \) là phân số tối giản: - Nhân cả ba thành phần của vectơ \( \overrightarrow{AB} \) với 7 để loại bỏ mẫu số: \[ \overrightarrow{u} = (6, 5, -8) \] - Vậy \( a = 6 \), \( b = 5 \), \( c = -8 \). 8. Tính giá trị \( a + 2b - c \): \[ a + 2b - c = 6 + 2 \cdot 5 - (-8) = 6 + 10 + 8 = 24 \] Vậy giá trị của \( a + 2b - c \) là \( 24 \). Câu 6: Để tìm phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \(x - y + z - 4 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n}_P = (1, -1, 1)\). 2. Tìm vectơ AB: Điểm A(1, 2, 0) và điểm B(3, 4, -2). Vectơ AB là: \[ \vec{AB} = (3 - 1, 4 - 2, -2 - 0) = (2, 2, -2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) sẽ vuông góc với cả \(\vec{n}_P\) và \(\vec{AB}\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n}_Q = \vec{n}_P \times \vec{AB} \] \[ \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}((-1)(-2) - (1)(2)) - \vec{j}((1)(-2) - (1)(2)) + \vec{k}((1)(2) - (-1)(2)) \] \[ = \vec{i}(2 - 2) - \vec{j}(-2 - 2) + \vec{k}(2 + 2) \] \[ = \vec{i}(0) - \vec{j}(-4) + \vec{k}(4) \] \[ = (0, 4, 4) \] Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là \(\vec{n}_Q = (0, 4, 4)\). 4. Viết phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1, 2, 0) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_Q = (0, 4, 4)\). Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: \[ 0(x - 1) + 4(y - 2) + 4(z - 0) = 0 \] \[ 4y - 8 + 4z = 0 \] \[ 4y + 4z - 8 = 0 \] Chia cả phương trình cho 4 để đơn giản hóa: \[ y + z - 2 = 0 \] So sánh với phương trình ban đầu \(ax + by + cz + 2 = 0\), ta thấy \(a = 0\), \(b = 1\), \(c = 1\). 5. Tính giá trị của \(T = a + b + c\): \[ T = 0 + 1 + 1 = 2 \] Vậy giá trị của \(T\) là \(\boxed{2}\).