giải chi tiết cho e ạ Phần 4. Tự luận. Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 4.,Câu 1. [Mức độ 1] Cho 4 chữ số 1,2,3,4 . Từ các chữ số trên, hỏi lập được bao nhiêu số tự,nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt.,Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm $A(1;3),~B(4;0).$ Tìm tọa độ điểm M thỏa,$3AM+AB=0$,Câu 3. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua,$M(2;5)$ và cách đều hai điểm $P(-1;2),~Q(5;4).$

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để lập được các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt từ các chữ số 1, 2, 3, 4, ta thực hiện như sau:

- Chọn chữ số hàng trăm: Có 4 cách chọn (có thể là 1, 2, 3 hoặc 4).
- Chọn chữ số hàng chục: Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, còn lại 3 chữ số để chọn (vì các chữ số phải đôi một phân biệt). Do đó, có 3 cách chọn.
- Chọn chữ số hàng đơn vị: Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm và hàng chục, còn lại 2 chữ số để chọn. Do đó, có 2 cách chọn.

Tổng số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt là:
$$ 4 \times 3 \times 2 = 24 $$

Vậy, từ các chữ số 1, 2, 3, 4, ta lập được 24 số tự nhiên có 3 chữ số đôi một phân biệt.

Câu 2.
Để tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện $3AM + AB = 0$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ $AB$:
   - Tọa độ của điểm $A$ là $(1, 3)$.
   - Tọa độ của điểm $B$ là $(4, 0)$.

Vectơ $AB$ được tính như sau:
   $$
   AB = B - A = (4 - 1, 0 - 3) = (3, -3)
   $$

2. Tìm vectơ $AM$:
   Giả sử tọa độ của điểm $M$ là $(x, y)$.

Vectơ $AM$ được tính như sau:
   $$
   AM = M - A = (x - 1, y - 3)
   $$

3. Áp dụng điều kiện $3AM + AB = 0$:
   Ta có:
   $$
   3AM + AB = 0
   $$
   Thay các vectơ đã tìm được vào:
   $$
   3(x - 1, y - 3) + (3, -3) = (0, 0)
   $$
   Điều này tương đương với:
   $$
   (3(x - 1) + 3, 3(y - 3) - 3) = (0, 0)
   $$

4. Giải hệ phương trình:
   Ta có hai phương trình:
   $$
   3(x - 1) + 3 = 0
   $$
   $$
   3(y - 3) - 3 = 0
   $$

Giải phương trình đầu tiên:
   $$
   3(x - 1) + 3 = 0 \
   3x - 3 + 3 = 0 \
   3x = 0 \
   x = 0
   $$

Giải phương trình thứ hai:
   $$
   3(y - 3) - 3 = 0 \
   3y - 9 - 3 = 0 \
   3y - 12 = 0 \
   3y = 12 \
   y = 4
   $$

5. Kết luận:
   Tọa độ của điểm $M$ là $(0, 4)$.

Đáp số: $M(0, 4)$.

Câu 3.
Để viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(2;5)$ và cách đều hai điểm $P(-1;2)$ và $Q(5;4)$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng PQ:

Trung điểm của đoạn thẳng PQ là:
$$ N = \left( \frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 + 4}{2} \right) = (2, 3) $$

2. Tính khoảng cách từ M đến P và từ M đến Q:

Khoảng cách từ M đến P:
$$ MP = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $$

Khoảng cách từ M đến Q:
$$ MQ = \sqrt{(2 - 5)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} $$

3. Kiểm tra điều kiện cách đều:

Để đường thẳng đi qua M và cách đều P và Q, thì M phải nằm trên đường vuông góc với PQ và đi qua trung điểm N.

4. Tìm phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ:

Phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với PQ sẽ có dạng:
$$ y - 5 = m(x - 2) $$

Trong đó, m là hệ số góc của đường thẳng này. Ta cần tìm m sao cho đường thẳng này vuông góc với PQ.

5. Tìm hệ số góc của PQ:

Hệ số góc của PQ là:
$$ m_{PQ} = \frac{4 - 2}{5 - (-1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$

Do đó, hệ số góc của đường thẳng vuông góc với PQ là:
$$ m = -3 $$

6. Viết phương trình đường thẳng:

Phương trình đường thẳng đi qua M(2, 5) và vuông góc với PQ là:
$$ y - 5 = -3(x - 2) $$
$$ y - 5 = -3x + 6 $$
$$ y = -3x + 11 $$

7. Viết phương trình tham số:

Phương trình tham số của đường thẳng này là:
$$ \begin{cases}
x = 2 + t \
y = 5 - 3t
\end{cases} $$

Vậy phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(2, 5) và cách đều hai điểm P(-1, 2) và Q(5, 4) là:
$$ \begin{cases}
x = 2 + t \
y = 5 - 3t
\end{cases} $$