Hỳnihghyihbb

Câu 1. a) Ta có $F'(x) = f(x) = 4x^3 + 1$. Do đó, $F(x)$ có dạng $F(x) = x^4 + x + C$, trong đó $C$ là hằng số. Vì $F(0) = 1$, ta thay vào để tìm $C$: \[ F(0) = 0^4 + 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1 \] Vậy $F(x) = x^4 + x + 1$. Giá trị của $F(1)$ là: \[ F(1) = 1^4 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \] b) Ta biết rằng $\int^3_1f(x)dx=2$. Ta cần tính $\int^2_1[f(x)+2x]dx$. Áp dụng tính chất tích phân, ta có: \[ \int^2_1[f(x)+2x]dx = \int^2_1f(x)dx + \int^2_12xdx \] Ta chia tích phân $\int^3_1f(x)dx$ thành hai phần: \[ \int^3_1f(x)dx = \int^2_1f(x)dx + \int^3_2f(x)dx \] Vì $\int^3_1f(x)dx = 2$, ta có: \[ 2 = \int^2_1f(x)dx + \int^3_2f(x)dx \] Từ đây, ta suy ra: \[ \int^2_1f(x)dx = 2 - \int^3_2f(x)dx \] Tiếp theo, ta tính $\int^2_12xdx$: \[ \int^2_12xdx = 2\int^2_1xdx = 2\left[\frac{x^2}{2}\right]^2_1 = 2\left(\frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2}\right) = 2\left(2 - \frac{1}{2}\right) = 2 \times \frac{3}{2} = 3 \] Vậy: \[ \int^2_1[f(x)+2x]dx = \int^2_1f(x)dx + 3 = (2 - \int^3_2f(x)dx) + 3 \] Do đó: \[ \int^2_1[f(x)+2x]dx = 2 - \int^3_2f(x)dx + 3 = 5 - \int^3_2f(x)dx \] Đáp số: a) $F(1) = 3$ b) $\int^2_1[f(x)+2x]dx = 5 - \int^3_2f(x)dx$ Câu 2: a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2-3x+2$, $y=x-1$, $x=0$, $x=3$: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giao điểm của các đường: - Giao điểm của $y=x^2-3x+2$ và $y=x-1$: \[ x^2 - 3x + 2 = x - 1 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x-1)(x-3) = 0 \] Vậy giao điểm là $x=1$ và $x=3$. 2. Tính diện tích bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hai hàm số từ $x=0$ đến $x=3$: \[ A = \int_{0}^{3} [(x-1) - (x^2 - 3x + 2)] \, dx \] \[ A = \int_{0}^{3} (x - 1 - x^2 + 3x - 2) \, dx \] \[ A = \int_{0}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \] 3. Tính tích phân: \[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{0}^{3} \] \[ A = \left( -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 \right) \] \[ A = \left( -9 + 18 - 9 \right) - 0 \] \[ A = 0 \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2-3x+2$, $y=x-1$, $x=0$, $x=3$ là 0. b) Thể tích của vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị $(P): y=2x-x^2$, trục Ox và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$: 1. Xác định giao điểm của đồ thị $(P)$ với trục Ox: \[ 2x - x^2 = 0 \] \[ x(2 - x) = 0 \] Vậy giao điểm là $x=0$ và $x=2$. 2. Tính thể tích bằng cách lấy tích phân của bình phương hàm số từ $x=0$ đến $x=2$: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4) \, dx \] 3. Tính tích phân: \[ V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - x^4 + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} \] \[ V = \pi \left( \frac{4 \cdot 2^3}{3} - 2^4 + \frac{2^5}{5} \right) - \pi \left( \frac{4 \cdot 0^3}{3} - 0^4 + \frac{0^5}{5} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{160}{15} - \frac{240}{15} + \frac{96}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{160 - 240 + 96}{15} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{16}{15} \right) \] \[ V = \frac{16\pi}{15} \] Vậy thể tích của vật thể tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị $(P): y=2x-x^2$, trục Ox và hai đường thẳng $x=0$, $x=2$ là $\frac{16\pi}{15}$. Câu 3: Để viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa điểm A và B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình \(x + y + z + 1 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n}_P = (1, 1, 1)\). 2. Tìm vectơ AB: Điểm A có tọa độ (1, -1, 2) và điểm B có tọa độ (2, 1, 1). Vectơ AB là: \[ \vec{AB} = (2 - 1, 1 - (-1), 1 - 2) = (1, 2, -1) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) chứa A và B và vuông góc với mặt phẳng (P). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) sẽ vuông góc với cả \(\vec{n}_P\) và \(\vec{AB}\). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): \[ \vec{n}_Q = \vec{n}_P \times \vec{AB} \] Tính tích có hướng: \[ \vec{n}_Q = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) \] \[ \vec{n}_Q = \vec{i}(-1 - 2) - \vec{j}(-1 - 1) + \vec{k}(2 - 1) = -3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k} \] Vậy \(\vec{n}_Q = (-3, 2, 1)\). 4. Viết phương trình mặt phẳng (Q): Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1, -1, 2) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_Q = (-3, 2, 1)\). Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: \[ -3(x - 1) + 2(y + 1) + 1(z - 2) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -3x + 3 + 2y + 2 + z - 2 = 0 \] \[ -3x + 2y + z + 3 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ -3x + 2y + z + 3 = 0 \] Câu 4: Để tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Điểm O có tọa độ (0, 0, 0). - Điểm A có tọa độ (100, 0, 0). - Điểm D có tọa độ (0, 60, 0). - Điểm B có tọa độ (10, 10, 8). - Điểm G nằm trên đường thẳng OA và có cùng chiều cao với điểm B, do đó tọa độ của G là (100, 10, 8). 2. Tìm phương trình mặt phẳng (OBED): - Vector OB = (10, 10, 8). - Vector OD = (0, 60, 0). - Vector OB x OD = $\begin{vmatrix} i & j & k \\ 10 & 10 & 8 \\ 0 & 60 & 0 \end{vmatrix}$ = (-480, 0, 600). - Phương trình mặt phẳng (OBED) có dạng: -480x + 600z = 0. 3. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED): - Thay tọa độ của G vào phương trình mặt phẳng: -480(100) + 600(8) = -48000 + 4800 = -43200. - Khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED) là: $\frac{|-43200|}{\sqrt{(-480)^2 + 600^2}} = \frac{43200}{\sqrt{230400 + 360000}} = \frac{43200}{\sqrt{590400}} = \frac{43200}{768} \approx 56.25$. Vậy khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (OBED) là khoảng 56.3 mét (làm tròn đến hàng phần chục).