giải chi tiết hộ mình với đúng hoặc sai.,Câu 13. Cho hàm số $f(x)=\sin2x+2x.$ $\Rightarrow$,$a)~f(0)=0;f(\pi)=2\pi.$,b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^\prime(x)=2\cos2x+2.$,c) Nghiệm của phương trình $f^\prime(x)=0$ trên đoạn $[0;\pi]$ là 0 và $\pi!$,d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;\pi]$ là x.

Question

Accepted Answer

Câu 13.
a) Ta có:
$f(0)=\sin 0 + 2 \times 0 = 0$
$f(\pi) = \sin 2\pi + 2\pi = 0 + 2\pi = 2\pi$

b) Đạo hàm của hàm số $f(x) = \sin 2x + 2x$ là:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 2x) + \frac{d}{dx}(2x) = 2\cos 2x + 2$

c) Để tìm nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$ trên đoạn $[0; \pi]$, ta giải phương trình:
$$2\cos 2x + 2 = 0$$
$$2\cos 2x = -2$$
$$\cos 2x = -1$$

Phương trình $\cos 2x = -1$ có nghiệm:
$$2x = \pi + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$
$$x = \frac{\pi}{2} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Trên đoạn $[0; \pi]$, các nghiệm là:
$$x = \frac{\pi}{2}$$

Tuy nhiên, ta cũng cần kiểm tra các điểm biên của đoạn $[0; \pi]$:
- Khi $x = 0$: $f'(0) = 2\cos 0 + 2 = 2 + 2 = 4 \neq 0$
- Khi $x = \pi$: $f'(\pi) = 2\cos 2\pi + 2 = 2 + 2 = 4 \neq 0$

Do đó, trên đoạn $[0; \pi]$, phương trình $f'(x) = 0$ không có nghiệm.

d) Để tìm giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \pi]$, ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm cực trị (nếu có).

- Tại $x = 0$: $f(0) = 0$
- Tại $x = \pi$: $f(\pi) = 2\pi$

Vì không có điểm cực trị trong đoạn $[0; \pi]$, giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn này là $2\pi$, đạt được khi $x = \pi$.

Đáp số: 
a) $f(0) = 0$, $f(\pi) = 2\pi$
b) $f'(x) = 2\cos 2x + 2$
c) Phương trình $f'(x) = 0$ không có nghiệm trên đoạn $[0; \pi]$
d) Giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0; \pi]$ là $2\pi$, đạt được khi $x = \pi$.