Giúp mình với nhé

Câu 3. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Vận tốc của vật khi thay đổi là $v(t)=t^2-4t+20(m/s)$ Ta biết rằng gia tốc $a(t) = 2t + 4$. Vận tốc $v(t)$ có thể được tìm bằng cách tích phân gia tốc theo thời gian: \[ v(t) = \int a(t) \, dt = \int (2t + 4) \, dt = t^2 + 4t + C \] Ban đầu, khi $t = 0$, vận tốc của vật là $20 \, m/s$. Do đó: \[ v(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 + C = 20 \] \[ C = 20 \] Vậy vận tốc của vật khi thay đổi là: \[ v(t) = t^2 + 4t + 20 \] Phần b) Vận tốc của vật tại thời điểm $t=5$ là $v=25(m/s)$ Thay $t = 5$ vào biểu thức vận tốc: \[ v(5) = 5^2 + 4 \cdot 5 + 20 = 25 + 20 + 20 = 65 \, m/s \] Phần c) Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu thay đổi vận tốc là 9 $(m)$ Quãng đường $s(t)$ có thể được tìm bằng cách tích phân vận tốc theo thời gian: \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (t^2 + 4t + 20) \, dt = \frac{t^3}{3} + 2t^2 + 20t + D \] Ban đầu, khi $t = 0$, quãng đường là 0. Do đó: \[ s(0) = \frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 + 20 \cdot 0 + D = 0 \] \[ D = 0 \] Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây là: \[ s(3) = \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 20 \cdot 3 = 9 + 18 + 60 = 87 \, m \] Phần d) Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi vận tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất là $\frac{104}{3}(m)$ Để tìm thời điểm vật đạt vận tốc bé nhất, ta tìm đạo hàm của $v(t)$ và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = 2t + 4 \] \[ 2t + 4 = 0 \] \[ t = -2 \] Tuy nhiên, thời gian không thể âm, do đó ta cần kiểm tra lại. Vận tốc bé nhất xảy ra khi đạo hàm của $v(t)$ bằng 0, nhưng ở đây ta thấy $v(t)$ là hàm bậc hai mở rộng lên, nên vận tốc bé nhất là khi $t = 0$. Quãng đường vật đi được từ $t = 0$ đến $t = 2$ (khi vận tốc bé nhất): \[ s(2) = \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 = \frac{8}{3} + 8 + 40 = \frac{8}{3} + 48 = \frac{104}{3} \, m \] Kết luận: a) Vận tốc của vật khi thay đổi là $v(t) = t^2 + 4t + 20 \, m/s$. b) Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 5$ là $65 \, m/s$. c) Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ khi bắt đầu thay đổi vận tốc là $87 \, m$. d) Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm thay đổi vận tốc đến lúc vật đạt vận tốc bé nhất là $\frac{104}{3} \, m$. Câu 4. a) Đúng vì mặt phẳng $(P):~x+2y-z-5=0$ có véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(1;2;-1).$ b) Sai vì thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng $(P)$ ta có $-2+2\times 2-3-5=-4\neq 0.$ c) Đúng vì mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm A và song song với $(P)$ có phương trình là $(Q):~x+2y-z-3=0.$ d) Đúng vì mặt phẳng $(R)$ song song với $(P)$ và cách đều hai điểm A và B có phương trình là $(R):~x+2y-z-4=0.$ Suy ra $b=2,~c=-1,~d=-4.$ Vậy $b+c+d=2-1-4=-3.$ Câu 1: Để tính giá trị của $F(1)$, trước tiên chúng ta cần tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^x - 2x + 1$. Bước 1: Tìm họ nguyên hàm của $f(x)$: \[ F(x) = \int (e^x - 2x + 1) \, dx \] Ta tính từng phần nguyên hàm: \[ \int e^x \, dx = e^x \] \[ \int (-2x) \, dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2 \] \[ \int 1 \, dx = x \] Do đó, họ nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = e^x - x^2 + x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ dựa trên điều kiện $F(0) = 2$: \[ F(0) = e^0 - 0^2 + 0 + C = 1 + C \] Theo đề bài, $F(0) = 2$, vậy: \[ 1 + C = 2 \implies C = 1 \] Bước 3: Viết lại họ nguyên hàm với hằng số $C$ đã biết: \[ F(x) = e^x - x^2 + x + 1 \] Bước 4: Tính giá trị của $F(1)$: \[ F(1) = e^1 - 1^2 + 1 + 1 = e - 1 + 1 + 1 = e + 1 \] Bước 5: Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần trăm: \[ e \approx 2.71828 \implies F(1) \approx 2.71828 + 1 = 3.71828 \] Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm: \[ F(1) \approx 3.72 \] Vậy giá trị của $F(1)$ là $\boxed{3.72}$. Câu 2. Để tìm nhiệt độ trung bình của hàm số \( T(t) = 20 + 1,5(t - 6) \) trên đoạn thời gian từ 8 giờ sáng đến 14 giờ chiều, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định khoảng thời gian và hàm số nhiệt độ. - Khoảng thời gian từ 8 giờ sáng đến 14 giờ chiều tương ứng với đoạn \([8; 14]\). - Hàm số nhiệt độ là \( T(t) = 20 + 1,5(t - 6) \). Bước 2: Áp dụng công thức giá trị trung bình của hàm số liên tục trên đoạn \([a; b]\): \[ \text{Giá trị trung bình} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \] Trong trường hợp này: \[ \text{Giá trị trung bình của nhiệt độ} = \frac{1}{14-8} \int_8^{14} T(t) \, dt \] Bước 3: Tính tích phân của hàm số \( T(t) \) trên đoạn \([8; 14]\): \[ \int_8^{14} T(t) \, dt = \int_8^{14} [20 + 1,5(t - 6)] \, dt \] \[ = \int_8^{14} [20 + 1,5t - 9] \, dt \] \[ = \int_8^{14} [11 + 1,5t] \, dt \] Bước 4: Tính tích phân từng phần: \[ \int_8^{14} 11 \, dt + \int_8^{14} 1,5t \, dt \] \[ = 11 \int_8^{14} dt + 1,5 \int_8^{14} t \, dt \] \[ = 11 [t]_8^{14} + 1,5 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_8^{14} \] \[ = 11 (14 - 8) + 1,5 \left( \frac{14^2}{2} - \frac{8^2}{2} \right) \] \[ = 11 \times 6 + 1,5 \left( \frac{196}{2} - \frac{64}{2} \right) \] \[ = 66 + 1,5 \left( 98 - 32 \right) \] \[ = 66 + 1,5 \times 66 \] \[ = 66 + 99 \] \[ = 165 \] Bước 5: Tính giá trị trung bình: \[ \text{Giá trị trung bình của nhiệt độ} = \frac{1}{14-8} \times 165 \] \[ = \frac{1}{6} \times 165 \] \[ = 27,5 \] Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 8 giờ sáng đến 14 giờ chiều là \( 27,5^0C \). Câu 3: Để tìm phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A(1;2;0)$ và $B(3;4;-2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): x - y + z - 4 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$: Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $x - y + z - 4 = 0$. Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}_P = (1, -1, 1)$. 2. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$: Điểm $A(1;2;0)$ và điểm $B(3;4;-2)$, ta có: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 1, 4 - 2, -2 - 0) = (2, 2, -2) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$: Mặt phẳng $(Q)$ đi qua hai điểm $A$ và $B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của $(Q)$ sẽ vuông góc với cả $\overrightarrow{AB}$ và $\vec{n}_P$. Ta tính tích có hướng của hai vectơ này: \[ \vec{n}_Q = \overrightarrow{AB} \times \vec{n}_P = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - (-2) \cdot (-1)) - \mathbf{j}(2 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) = \mathbf{i}(2 - 2) - \mathbf{j}(2 + 2) + \mathbf{k}(-2 - 2) = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(4) + \mathbf{k}(-4) = (0, -4, -4) \] Vậy vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n}_Q = (0, -4, -4)$. 4. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$: Mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $A(1;2;0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_Q = (0, -4, -4)$. Phương trình mặt phẳng $(Q)$ có dạng: \[ 0(x - 1) - 4(y - 2) - 4(z - 0) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -4(y - 2) - 4z = 0 \] \[ -4y + 8 - 4z = 0 \] \[ -4y - 4z + 8 = 0 \] Chia cả phương trình cho -4: \[ y + z - 2 = 0 \] 5. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình mặt phẳng $(Q)$ được cho là $ax + by + cz + d = 0$. So sánh với phương trình $y + z - 2 = 0$, ta có: \[ a = 0, \quad b = 1, \quad c = 1, \quad d = -2 \] 6. Tính $T = a + b + c$: \[ T = 0 + 1 + 1 = 2 \] Vậy $T = 2$.