giải trắc nghiệm và giải thích giúp tôi

Câu 1: Ta có: \[ \sqrt[3]{a^2} = (a^2)^{\frac{1}{3}} = a^{2 \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \] Vậy đáp án đúng là B. $a^{\frac{2}{3}}$. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC). 2. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC). 3. Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA. 4. Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bước 1: Xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC). Gọi H là hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng (ABC). Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên H trùng với A. Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc SAC. Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC). Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) là SA = 2a. Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng SA. Vì tam giác ABC vuông cân tại B và AB = a√2, nên AC = a√2 × √2 = 2a. Bước 4: Áp dụng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ta có: \[ \sin(\angle SAC) = \frac{SA}{SC} \] Trong tam giác SAC, ta có: \[ SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2} \] Vậy: \[ \sin(\angle SAC) = \frac{2a}{2a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó: \[ \angle SAC = 45^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là 45°. Đáp án đúng là: C. 45°. Câu 3: A. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. - Đúng: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau tại một điểm hoặc chéo nhau trong không gian. B. Trong không gian hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. - Sai: Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác không nhất thiết phải song song với nhau. Chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. C. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. - Sai: Qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước. Chỉ cần đường thẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng cho trước. D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau. - Sai: Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau. Vậy khẳng định đúng là: A. Trong không gian hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Câu 4: Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SB vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD), bao gồm cả BD. Bây giờ, ta xét các mặt phẳng đã cho: - Mặt phẳng (SBC) chứa SB và BC. - Mặt phẳng (SAC) chứa SA và AC. - Mặt phẳng (SAD) chứa SA và AD. - Mặt phẳng (SCD) chứa SC và CD. Ta cần tìm mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng (SBD). Để làm điều này, ta sẽ kiểm tra xem có đường thẳng nào trong các mặt phẳng trên vuông góc với mặt phẳng (SBD) hay không. Mặt phẳng (SBD) chứa SB và BD. Ta biết rằng SB vuông góc với BD (vì SB vuông góc với mặt phẳng (ABCD)). Bây giờ, ta xét từng mặt phẳng: - Mặt phẳng (SBC) chứa SB và BC. Vì SB vuông góc với BD, nhưng BC không chắc chắn vuông góc với BD, nên ta chưa thể kết luận (SBC) vuông góc với (SBD). - Mặt phẳng (SAC) chứa SA và AC. Vì AC vuông góc với BD (do ABCD là hình thoi), và SA cũng vuông góc với BD (vì SA nằm trong mặt phẳng (SAC) và vuông góc với BD), nên mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD). - Mặt phẳng (SAD) chứa SA và AD. Vì AD không chắc chắn vuông góc với BD, nên ta chưa thể kết luận (SAD) vuông góc với (SBD). - Mặt phẳng (SCD) chứa SC và CD. Vì CD không chắc chắn vuông góc với BD, nên ta chưa thể kết luận (SCD) vuông góc với (SBD). Vậy mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (SBD) là mặt phẳng (SAC). Đáp án đúng là: B. $(SAC)$ Câu 5: Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta xét các đường thẳng sau: A. AD': - AD' nằm trong mặt phẳng ADD'A' và không vuông góc với mặt phẳng ABCD, do đó không vuông góc với BC. B. BD': - BD' nằm trong mặt phẳng BDD'B' và không vuông góc với mặt phẳng ABCD, do đó không vuông góc với BC. C. A'B': - A'B' nằm trong mặt phẳng A'B'C'D' và song song với mặt phẳng ABCD, do đó không vuông góc với BC. D. BC': - BC' nằm trong mặt phẳng BCC'B' và vuông góc với mặt phẳng ABCD, do đó vuông góc với BC. Vậy đường thẳng vuông góc với đường thẳng BC là BC'. Đáp án đúng là: D. BC' Câu 6: Ta có: \[ \log_4(4a) = \log_4(4) + \log_4(a) \] Biết rằng $\log_4(4) = 1$, ta thay vào: \[ \log_4(4a) = 1 + \log_4(a) \] Vậy đáp án đúng là: D. $1 + \log_4(a)$ Câu 7: Để giải phương trình $\log_{0,2}(x-2) > -2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_{0,2}(x-2)$, ta cần $x-2 > 0$. - Điều này dẫn đến $x > 2$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_{0,2}(x-2) > -2$. - Đổi về dạng số mũ: $(x-2) < (0,2)^{-2}$. - Tính $(0,2)^{-2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-2} = 5^2 = 25$. - Vậy ta có $x-2 < 25$. - Điều này dẫn đến $x < 27$. 3. Tìm tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 2$ và kết quả từ bất phương trình $x < 27$, ta có: \[ 2 < x < 27 \] - Tập nghiệm của phương trình là $(2; 27)$. Vậy đáp án đúng là: B. $(2; 27)$. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập luận từng bước như sau: 1. Xác định điều kiện: - Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. - Điểm M không thuộc (P) và (Q). 2. Hiểu về tính chất của mặt phẳng vuông góc: - Một mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với cả hai mặt phẳng đó. 3. Xét qua điểm M: - Qua một điểm M, ta có thể vẽ vô số đường thẳng. - Tuy nhiên, để tìm mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q), ta cần xét thêm điều kiện vuông góc. 4. Lập luận về mặt phẳng vuông góc: - Qua điểm M, chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Điều này là do: - Mặt phẳng vuông góc với (P) cũng sẽ vuông góc với (Q) vì (P) và (Q) song song. - Do đó, chỉ có một mặt phẳng duy nhất thỏa mãn điều kiện này. Kết luận: Qua điểm M, chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Đáp án đúng là: C. 1. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lập luận từng bước như sau: 1. Xác định điều kiện: - Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. - Điểm M không thuộc (P) và (Q). 2. Hiểu về tính chất của mặt phẳng vuông góc: - Một mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với cả hai mặt phẳng đó. 3. Xét qua điểm M: - Qua một điểm M, ta có thể vẽ vô số đường thẳng. - Tuy nhiên, để tìm mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng song song (P) và (Q), ta cần xét thêm điều kiện vuông góc. 4. Lập luận về mặt phẳng vuông góc: - Qua điểm M, chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Điều này là do: - Nếu có hai mặt phẳng vuông góc với (P) và (Q), thì hai mặt phẳng đó phải song song với nhau (vì vuông góc với cùng một đường thẳng). - Nhưng vì M là điểm cố định, chỉ có thể có một mặt phẳng duy nhất đi qua M và vuông góc với cả (P) và (Q). Do đó, qua điểm M chỉ có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Đáp án đúng là: C. 1. Câu 9: A. Nếu $a//(P)$ và $b\bot a$ thì $b\bot(P).$ - Khẳng định này sai vì nếu $a//(P)$ và $b\bot a$, $b$ có thể nằm trong mặt phẳng $(P)$ hoặc vuông góc với $(P)$, nhưng không chắc chắn là $b\bot(P)$. B. Nếu $a//(P)$ và $b\bot(P)$ thì $b\bot a.$ - Khẳng định này đúng vì nếu $a//(P)$ và $b\bot(P)$, thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$, bao gồm cả $a$. Do đó, $b\bot a$. C. Nếu $a//(P)$ và $b//(P)$ thì b//a . - Khẳng định này sai vì nếu $a//(P)$ và $b//(P)$, $b$ có thể song song với $a$ hoặc cắt $a$ trong mặt phẳng $(P)$, nhưng không chắc chắn là $b//a$. D. Nếu $a\bot(P)$ và $b\bot a$ thì $b//(P).$ - Khẳng định này sai vì nếu $a\bot(P)$ và $b\bot a$, $b$ có thể nằm trong mặt phẳng $(P)$ hoặc song song với $(P)$, nhưng không chắc chắn là $b//(P)$. Vậy khẳng định đúng là: B. Nếu $a//(P)$ và $b\bot(P)$ thì $b\bot a.$ Câu 10: Để xác định mệnh đề đúng trong các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất của hàm số logarit. A. $\log(ab) = \log a \cdot \log b$ Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log(ab) = \log a + \log b \] Do đó, mệnh đề này sai vì $\log(ab)$ không bằng $\log a \cdot \log b$. B. $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{\log a}{\log b}$ Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b \] Do đó, mệnh đề này sai vì $\log\left(\frac{a}{b}\right)$ không bằng $\frac{\log a}{\log b}$. C. $\log(ab) = \log a - \log b$ Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log(ab) = \log a + \log b \] Do đó, mệnh đề này sai vì $\log(ab)$ không bằng $\log a - \log b$. D. $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$ Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b \] Do đó, mệnh đề này đúng. Vậy, mệnh đề đúng là: D. $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$. Câu 11: Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định khẳng định đúng trong các lựa chọn đã cho liên quan đến các phép toán với lũy thừa. Chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một. A. $(a^m)^n = a^{n+m}$ - Theo quy tắc lũy thừa, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Do đó, khẳng định này sai vì nó không đúng với quy tắc lũy thừa. B. $a^m \cdot a^n = a^{m-n}$ - Theo quy tắc lũy thừa, $a^m \cdot a^n = a^{m + n}$. Do đó, khẳng định này sai vì nó không đúng với quy tắc lũy thừa. C. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ - Theo quy tắc lũy thừa, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}$. Do đó, khẳng định này đúng. D. $a^m + a^n = a^{m+n}$ - Đây là một khẳng định sai vì tổng của hai lũy thừa không phải là lũy thừa của tổng các số mũ. Do đó, khẳng định đúng là: C. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ Đáp án: C. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ Câu 12: Để xác định góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ABC, ta cần tìm góc giữa đường thẳng SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy. Trước tiên, ta nhận thấy rằng SA vuông góc với đáy ABC, do đó SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy ABC, bao gồm cả SB. Hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy ABC là đường thẳng từ B kéo dài xuống đáy ABC, tức là đường thẳng BA. Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ABC chính là góc giữa SB và BA. Vậy đáp án đúng là: D. SB và AB.