Câu 4.
Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan:
- Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a.
- Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A và BC = a√2.
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC.
Ta cần tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMN) và (ABC).
Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan
- Vì M và N là trung điểm của SB và SC nên MN // AB và MN = AB.
- Mặt phẳng (AMN) cắt mặt phẳng (SBC) theo đường thẳng MN.
Bước 2: Xác định góc giữa hai mặt phẳng
- Góc giữa hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng MN và AB (vì MN // AB).
Bước 3: Xác định các đoạn thẳng liên quan
- Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên AB = AC = a.
- MN = AB = .
Bước 4: Xác định góc giữa hai đường thẳng
- Ta thấy rằng MN // AB, do đó góc giữa MN và AB là 0° hoặc 180°. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta quan tâm đến góc giữa hai mặt phẳng, tức là góc giữa hai đường thẳng MN và AB khi nhìn từ góc nhìn trực giao.
Bước 5: Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
- Vì MN // AB, góc giữa MN và AB là 0°, do đó cosin của góc này là 1.
Vậy cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMN) và (ABC) là 1.
Đáp số: 1
Câu 1.
a) Tứ giác ABCD là một hình bình hành
Tứ giác ABCD là hình vuông vì ABCD là đáy của chóp đều S.ABCD nên ABCD là hình bình hành.
b) Tan góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng
Gọi H là trung điểm của BD, ta có SH vuông góc với (ABCD).
Ta có tan góc tạo bởi đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là:
tan(SBH) = SH/BH = a√2 / 2a = √2/2
c) Đường thẳng Sx vuông góc với mặt phẳng (SMN)
Ta có MN // AD // BC
Mà Sx // BB' nên Sx vuông góc với MN
Lại có SH vuông góc với (ABCD) nên SH vuông góc với SM
Mà SM cắt MN tại M nên Sx vuông góc với (SMN)
d) Đoạn thẳng SO có độ dài bằng .
SO là đường chéo của hình vuông có cạnh bằng 2a nên SO = 2a.
Câu 2.
a) Ta có và . Do đó suy ra .
Tương tự ta có .
Suy ra là trực tâm của .
Do đó .
Mặt khác suy ra .
Suy ra suy ra .
Mà nên .
Suy ra suy ra .
Vậy là sai.
b) Ta đã chứng minh là đúng.
c) Ta có suy ra .
Mà nên theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông ta có:
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế ta được:
Suy ra:
Vậy c) là đúng.
d) Ta đã chứng minh là trực tâm của nên d) là đúng.
Câu 1.
Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp S.ABCD.
- Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
- Các cạnh bên SA, SB, SC, SD đều có độ dài a.
- M là trung điểm của SA.
- N là trung điểm của CD.
Ta cần tính góc giữa đường thẳng MN và BC, tức là góc giữa hai đường thẳng MN và BC.
Bước 1: Xác định tọa độ các điểm.
- Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, ta có O(0,0,0), A(a,0,0), B(a,a,0), C(0,a,0), D(0,0,0).
- Vì S.ABCD là hình chóp đều nên S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại O và có khoảng cách từ O đến S là (do SA = a và OA = ).
Do đó, tọa độ của S là .
Bước 2: Tìm tọa độ của M và N.
- M là trung điểm của SA, do đó tọa độ của M là .
- N là trung điểm của CD, do đó tọa độ của N là .
Bước 3: Tìm vector MN và BC.
- Vector MN = N - M = .
- Vector BC = C - B = .
Bước 4: Tính cos của góc giữa MN và BC.
- Độ dài của MN:
- Độ dài của BC:
- Tích vô hướng MN.BC:
- Cos của góc giữa MN và BC:
Vậy, .
Câu 2.
Trước tiên, ta xác định góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (B, CD, S) và (ABCD).
1. Xác định đường thẳng chung:
- Đường thẳng chung của hai mặt phẳng (B, CD, S) và (ABCD) là đường thẳng BD.
2. Xác định các đường vuông góc:
- Ta hạ đường cao SH từ đỉnh S của tam giác đều SAB xuống đáy AB, ta có SH vuông góc với AB.
- Vì tam giác SAB đều nên SH cũng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
- Hạ đường cao HK từ H xuống cạnh BD trong mặt phẳng (ABCD), ta có HK vuông góc với BD.
- Do đó, SK sẽ vuông góc với BD trong mặt phẳng (SBD).
3. Xác định góc nhị diện:
- Góc giữa hai mặt phẳng (B, CD, S) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng HK và SK, tức là góc SKH.
4. Tính toán:
- Trong tam giác vuông SHB, ta có:
- Trong tam giác vuông HKD, ta có:
- Trong tam giác vuông SKH, ta có:
5. Kết luận:
- Góc là góc nhị diện giữa hai mặt phẳng (B, CD, S) và (ABCD), và có số đo là:
Vậy góc nhị diện [B, CD, S] có số đo là 50.77 độ.
Câu 3.
Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC). Gọi H là trung điểm của BC, ta có SH là đường cao hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC).
Do đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a, nên:
- Độ dài đoạn thẳng AH =
- Độ dài đoạn thẳng SH =
Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC). Ta có góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) chính là góc ASH.
Ta tính :
Từ đó, ta có:
Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) là .
Đáp số: