Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với (ABC) và SB=a√5. Gọi M là trung điểm của BC. Tính tang của góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SAC)

Question

soiyandere2 · Accepted Answer

Gọi $H$ là trung điểm $AC$

$I$ là trung điểm $HC$

Vì $ riangle ABC$ đều

$\Rightarrow BH \perp AC$, mà $BH // IM$ (vì $IM$ là đường trung bình $ riangle BHC$)

$\Rightarrow IM \perp AC$

Mà $IM \perp SA$ (vì $SA \perp (ABC) \supset IM$)

$\Rightarrow IM \perp (SAC)$

$\Rightarrow SI$ là hình chiếu của $SM$ trên $(SAC)$

$\Rightarrow (SM, (SAC)) = (SM, SI) = \widehat{MSI}$

Ta có:

$ riangle SAB$ vuông tại $A$:

$SA = \sqrt{SB^2 - AB^2} = \sqrt{5a^2 - a^2} = 2a$

$AI = AC . \frac{3}{4} = \frac{3a}{4}$

$ riangle SAI$ vuông tại $A$:

$SI = \sqrt{SA^2 + AI^2} = \sqrt{4a^2 + \frac{9a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{73}}{4}$

$IM = \frac{BH}{2} = \frac{AB\sqrt{3}}{2 . 2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

$ riangle MSI$ vuông tại $I$:

$ an \widehat{MSI} = \frac{IM}{SI} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a\sqrt{73}}{4}} = \sqrt{\frac{3}{73}}$

$\Rightarrow \widehat{MSI} \approx 11,46^\circ$

$\Rightarrow (SM, (SAC)) \approx 11,46^\circ$

Timi · Answer

Trước tiên, ta xác định góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SAC). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống (SAC). Ta có góc SMH là góc giữa đường thẳng SM và mặt phẳng (SAC).

Ta có:
- Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, do đó AM = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
- SA vuông góc với (ABC), do đó SA vuông góc với AM.
- Tam giác SAM vuông tại A, do đó ta tính được SM bằng công thức Pythagoras:
$$ SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{SA^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} $$

Ta biết SB = a√5, do đó ta tính SA bằng cách sử dụng công thức Pythagoras trong tam giác SAB vuông tại A:
$$ SB^2 = SA^2 + AB^2 $$
$$ (a\sqrt{5})^2 = SA^2 + a^2 $$
$$ 5a^2 = SA^2 + a^2 $$
$$ SA^2 = 4a^2 $$
$$ SA = 2a $$

Bây giờ ta tính SM:
$$ SM = \sqrt{(2a)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{4a^2 + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{16a^2 + 3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{19a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{19}}{2} $$

Tiếp theo, ta tính diện tích tam giác SAC:
$$ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times AC = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2 $$

Diện tích tam giác SAM:
$$ S_{SAM} = \frac{1}{2} \times SA \times AM = \frac{1}{2} \times 2a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} $$

Diện tích tam giác MAC:
$$ S_{MAC} = \frac{1}{2} \times AM \times MC = \frac{1}{2} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8} $$

Diện tích tam giác SAC bằng tổng diện tích tam giác SAM và MAC:
$$ S_{SAC} = S_{SAM} + S_{MAC} $$
$$ a^2 = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} + \frac{a^2\sqrt{3}}{8} $$
$$ a^2 = \frac{4a^2\sqrt{3} + a^2\sqrt{3}}{8} = \frac{5a^2\sqrt{3}}{8} $$

Do đó, ta có:
$$ \frac{a^2}{\frac{5a^2\sqrt{3}}{8}} = \frac{8}{5\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{15} $$

Vậy, ta có:
$$ \tan(\angle SMH) = \frac{MH}{SH} = \frac{AM}{SM} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{19}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{\sqrt{57}}{19} $$

Đáp số: $\tan(\angle SMH) = \frac{\sqrt{57}}{19}$