Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy tâm O, cạnh a và cạnh bên là 2a. Tính sinh của góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

Question

Accepted Answer

Trước tiên, ta xác định góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy. Gọi O là tâm của đáy ABC, ta có SO vuông góc với đáy ABC. Do đó, góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy ABC là góc ASO.

Ta tính độ dài SO:
- Vì S.ABC là hình chóp đều, SO là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABC, đồng thời O là tâm của tam giác đều ABC.
- Độ dài OA (hay OB, OC) là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ (vì O là tâm của tam giác đều ABC).

Sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOA:
$$ SO^2 + OA^2 = SA^2 $$
$$ SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = (2a)^2 $$
$$ SO^2 + \frac{a^2}{3} = 4a^2 $$
$$ SO^2 = 4a^2 - \frac{a^2}{3} $$
$$ SO^2 = \frac{12a^2 - a^2}{3} $$
$$ SO^2 = \frac{11a^2}{3} $$
$$ SO = a\sqrt{\frac{11}{3}} $$

Bây giờ, ta tính sin của góc ASO:
$$ \sin(\angle ASO) = \frac{SO}{SA} $$
$$ \sin(\angle ASO) = \frac{a\sqrt{\frac{11}{3}}}{2a} $$
$$ \sin(\angle ASO) = \frac{\sqrt{\frac{11}{3}}}{2} $$
$$ \sin(\angle ASO) = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} $$
$$ \sin(\angle ASO) = \frac{\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $$
$$ \sin(\angle ASO) = \frac{\sqrt{33}}{6} $$

Vậy, sin của góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là $\frac{\sqrt{33}}{6}$.