Giúp mình với!

Bài 10. Để tính thể tích của khối tứ diện \(AIKA'\) và suy ra khoảng cách từ \(A'\) đến mặt phẳng \((AB'K)\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh - Khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). - Gọi \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(C(a,a,0)\), \(D(0,a,0)\), \(A'(0,0,a)\), \(B'(a,0,a)\), \(C'(a,a,a)\), \(D'(0,a,a)\). Bước 2: Tìm tọa độ của các điểm \(I\) và \(K\) - \(K\) là trung điểm của \(DD'\), do đó \(K(0, a, \frac{a}{2})\). - \(O\) là tâm của hình vuông \(AA'B'B\), do đó \(O(\frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2})\). Bước 3: Tính thể tích khối tứ diện \(AIKA'\) Thể tích của khối tứ diện \(AIKA'\) được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{6} \left| \vec{AI} \cdot (\vec{AK} \times \vec{AA'}) \right| \] Trước tiên, ta tìm các vectơ: - \(\vec{AI} = O - A = \left( \frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2} \right)\) - \(\vec{AK} = K - A = \left( 0, a, \frac{a}{2} \right)\) - \(\vec{AA'} = A' - A = (0, 0, a)\) Tính tích vector \(\vec{AK} \times \vec{AA'}\): \[ \vec{AK} \times \vec{AA'} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & \frac{a}{2} \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 0) = (a^2, 0, 0) \] Sau đó, nhân với \(\vec{AI}\): \[ \vec{AI} \cdot (\vec{AK} \times \vec{AA'}) = \left( \frac{a}{2}, 0, \frac{a}{2} \right) \cdot (a^2, 0, 0) = \frac{a}{2} \cdot a^2 + 0 + 0 = \frac{a^3}{2} \] Do đó, thể tích của khối tứ diện \(AIKA'\) là: \[ V = \frac{1}{6} \left| \frac{a^3}{2} \right| = \frac{a^3}{12} \] Bước 4: Tính diện tích đáy \(AB'K\) Diện tích đáy \(AB'K\) là tam giác \(AB'K\): - \(AB' = a\sqrt{2}\) (đường chéo của hình vuông \(AA'B'B\)) - \(BK = \sqrt{(a-0)^2 + (0-a)^2 + (a-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}\) - \(AK = \sqrt{(0-0)^2 + (a-0)^2 + (\frac{a}{2}-0)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}\) Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác \(AB'K\): \[ s = \frac{AB' + BK + AK}{2} = \frac{a\sqrt{2} + \frac{3a}{2} + \frac{a\sqrt{5}}{2}}{2} \] \[ S_{AB'K} = \sqrt{s(s - AB')(s - BK)(s - AK)} \] Bước 5: Tính khoảng cách từ \(A'\) đến mặt phẳng \((AB'K)\) Khoảng cách \(d\) từ \(A'\) đến mặt phẳng \((AB'K)\) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{3V}{S_{AB'K}} \] Vậy, khoảng cách từ \(A'\) đến mặt phẳng \((AB'K)\) là: \[ d = \frac{3 \cdot \frac{a^3}{12}}{S_{AB'K}} = \frac{a^3}{4S_{AB'K}} \] Kết luận Thể tích của khối tứ diện \(AIKA'\) là \(\frac{a^3}{12}\) và khoảng cách từ \(A'\) đến mặt phẳng \((AB'K)\) là \(\frac{a^3}{4S_{AB'K}}\).