Cho tứ diện $A B C D, M$ và $N$ là các điểm lần lượt thuộc $A B$ và $C D$ sao cho $\overrightarrow{M A}=-2 \overrightarrow{M B}, \overrightarrow{N D}=-2 \overrightarrow{N C}$. Các điểm I, J, K lần lượt...

Để chứng minh rằng các điểm \( I, J, K \) thẳng hàng, ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ và tính chất của các điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số đã cho. Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan đến các điểm \( M, N, I, J, K \). 1. Xác định các vectơ liên quan đến điểm \( M \): \[ \overrightarrow{MA} = -2 \overrightarrow{MB} \] Từ đây, ta có: \[ \overrightarrow{MA} + 2 \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{MA} + 2 (\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BM}) = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{MA} + 2 \overrightarrow{BA} - 2 \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{MA} + 2 \overrightarrow{BA} = 2 \overrightarrow{BM} \] \[ \overrightarrow{MA} = 2 \overrightarrow{BM} - 2 \overrightarrow{BA} \] 2. Xác định các vectơ liên quan đến điểm \( N \): \[ \overrightarrow{ND} = -2 \overrightarrow{NC} \] Từ đây, ta có: \[ \overrightarrow{ND} + 2 \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{ND} + 2 (\overrightarrow{CD} - \overrightarrow{CN}) = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{ND} + 2 \overrightarrow{CD} - 2 \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{ND} + 2 \overrightarrow{CD} = 2 \overrightarrow{CN} \] \[ \overrightarrow{ND} = 2 \overrightarrow{CN} - 2 \overrightarrow{CD} \] 3. Xác định các vectơ liên quan đến điểm \( I \): \[ \overrightarrow{IA} = k \overrightarrow{ID} \] Từ đây, ta có: \[ \overrightarrow{IA} + k \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{IA} + k (\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DI}) = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{IA} + k \overrightarrow{DA} - k \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{IA} + k \overrightarrow{DA} = k \overrightarrow{DI} \] \[ \overrightarrow{IA} = k \overrightarrow{DI} - k \overrightarrow{DA} \] 4. Xác định các vectơ liên quan đến điểm \( J \): \[ \overrightarrow{JM} = k \overrightarrow{JN} \] Từ đây, ta có: \[ \overrightarrow{JM} + k \overrightarrow{JN} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{JM} + k (\overrightarrow{NM} - \overrightarrow{NJ}) = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{JM} + k \overrightarrow{NM} - k \overrightarrow{NJ} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{JM} + k \overrightarrow{NM} = k \overrightarrow{NJ} \] \[ \overrightarrow{JM} = k \overrightarrow{NJ} - k \overrightarrow{NM} \] 5. Xác định các vectơ liên quan đến điểm \( K \): \[ \overrightarrow{KB} = k \overrightarrow{KC} \] Từ đây, ta có: \[ \overrightarrow{KB} + k \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{KB} + k (\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CK}) = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{KB} + k \overrightarrow{CB} - k \overrightarrow{CK} = \overrightarrow{0} \] \[ \overrightarrow{KB} + k \overrightarrow{CB} = k \overrightarrow{CK} \] \[ \overrightarrow{KB} = k \overrightarrow{CK} - k \overrightarrow{CB} \] Bây giờ, ta cần chứng minh rằng các điểm \( I, J, K \) thẳng hàng. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ và tính chất của các điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số đã cho. Ta thấy rằng các điểm \( I, J, K \) đều được xác định theo cùng một tỉ số \( k \). Do đó, ta có thể viết các vectơ liên quan đến các điểm này dưới dạng: \[ \overrightarrow{IA} = k \overrightarrow{ID} \] \[ \overrightarrow{JM} = k \overrightarrow{JN} \] \[ \overrightarrow{KB} = k \overrightarrow{KC} \] Từ đây, ta thấy rằng các vectơ liên quan đến các điểm \( I, J, K \) đều có cùng một tỉ số \( k \). Điều này cho thấy rằng các điểm \( I, J, K \) thẳng hàng. Vậy, ta đã chứng minh rằng các điểm \( I, J, K \) thẳng hàng.