giúp mk vs tìm giá trị lớn nhất của $A=\frac{2+2x-x^2}{x^2-2x+3},$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $ A = \frac{2 + 2x - x^2}{x^2 - 2x + 3} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Biểu thức $ A $ có mẫu số là $ x^2 - 2x + 3 $. Ta cần kiểm tra xem mẫu số này có thể bằng 0 hay không.
$$ x^2 - 2x + 3 = 0 $$
Ta tính delta ($ \Delta $) của phương trình này:
$$ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 $$
Vì $ \Delta < 0 $, phương trình $ x^2 - 2x + 3 = 0 $ vô nghiệm, tức là mẫu số luôn dương và không bằng 0. Do đó, biểu thức $ A $ xác định với mọi giá trị của $ x $.

Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất của $ A $
Ta đặt $ A = k $:
$$ \frac{2 + 2x - x^2}{x^2 - 2x + 3} = k $$
Nhân cả hai vế với $ x^2 - 2x + 3 $:
$$ 2 + 2x - x^2 = k(x^2 - 2x + 3) $$
Rearrange the equation:
$$ 2 + 2x - x^2 = kx^2 - 2kx + 3k $$
$$ 2 + 2x - x^2 - kx^2 + 2kx - 3k = 0 $$
$$ -(1 + k)x^2 + (2 + 2k)x + (2 - 3k) = 0 $$

Để phương trình này có nghiệm, delta ($ \Delta $) phải lớn hơn hoặc bằng 0:
$$ \Delta = (2 + 2k)^2 - 4 \cdot (-(1 + k)) \cdot (2 - 3k) \geq 0 $$
$$ \Delta = (2 + 2k)^2 + 4(1 + k)(2 - 3k) \geq 0 $$
$$ \Delta = 4 + 8k + 4k^2 + 4(2 - 3k + 2k - 3k^2) \geq 0 $$
$$ \Delta = 4 + 8k + 4k^2 + 4(2 - k - 3k^2) \geq 0 $$
$$ \Delta = 4 + 8k + 4k^2 + 8 - 4k - 12k^2 \geq 0 $$
$$ \Delta = 12 + 4k - 8k^2 \geq 0 $$
$$ -8k^2 + 4k + 12 \geq 0 $$
$$ 2k^2 - k - 3 \leq 0 $$

Giải bất phương trình $ 2k^2 - k - 3 \leq 0 $:
$$ 2k^2 - k - 3 = 0 $$
Tính delta:
$$ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 $$
$$ k = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{1 \pm 5}{4} $$
$$ k_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$
$$ k_2 = \frac{-4}{4} = -1 $$

Do đó, $ 2k^2 - k - 3 \leq 0 $ khi $ -1 \leq k \leq \frac{3}{2} $.

Vậy giá trị lớn nhất của $ A $ là $ \frac{3}{2} $, đạt được khi $ k = \frac{3}{2} $.

Đáp số: Giá trị lớn nhất của $ A $ là $ \frac{3}{2} $.