Mong mn giúp

Câu 1: Để tính giá trị của $F(2)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x + 4$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$. Nguyên hàm của $f(x) = 2x + 4$ là: \[ F(x) = \int (2x + 4) \, dx = x^2 + 4x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Tính giá trị của $F(2)$. Thay $x = 2$ vào biểu thức của $F(x)$: \[ F(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 + C = 4 + 8 + C = 12 + C \] Vậy giá trị của $F(2)$ là $12 + C$. Đáp số: $F(2) = 12 + C$. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính tích phân của hàm số $\cos x + x$ và so sánh kết quả với biểu thức đã cho để tìm giá trị của $a$ và $b$. Bước 1: Tính tích phân của $\cos x + x$. \[ \int (\cos x + x) \, dx = \int \cos x \, dx + \int x \, dx \] Bước 2: Tính từng phần tích phân riêng lẻ. \[ \int \cos x \, dx = \sin x + C_1 \] \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên lại. \[ \int (\cos x + x) \, dx = \sin x + \frac{x^2}{2} + C \] Bước 4: So sánh với biểu thức đã cho $a \sin x + bx^2 + C$. \[ \sin x + \frac{x^2}{2} + C = a \sin x + bx^2 + C \] Từ đây, ta thấy rằng: \[ a = 1 \quad \text{và} \quad b = \frac{1}{2} \] Bước 5: Tính tổng $a + b$. \[ a + b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] Vậy, $a + b = \frac{3}{2}$. Đáp số: $\frac{3}{2}$ Câu 3: Để tính diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + 1 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \) và trục hoành, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: Hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + 1 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \) và trục hoành nằm trong khoảng từ \( x = -1 \) đến \( x = 2 \). 2. Tích phân hàm số \( y = x^2 + 1 \) trong khoảng từ \( x = -1 \) đến \( x = 2 \): Diện tích S được tính bằng tích phân của hàm số \( y = x^2 + 1 \) từ \( x = -1 \) đến \( x = 2 \): \[ S = \int_{-1}^{2} (x^2 + 1) \, dx \] 3. Tính tích phân: Ta tính tích phân từng phần: \[ \int (x^2 + 1) \, dx = \int x^2 \, dx + \int 1 \, dx \] \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] \[ \int 1 \, dx = x \] Vậy: \[ \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x \] 4. Áp dụng cận trên và cận dưới vào kết quả tích phân: \[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{2} \] Tính tại \( x = 2 \): \[ \frac{2^3}{3} + 2 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} = \frac{14}{3} \] Tính tại \( x = -1 \): \[ \frac{(-1)^3}{3} + (-1) = \frac{-1}{3} - 1 = \frac{-1}{3} - \frac{3}{3} = \frac{-4}{3} \] Kết quả cuối cùng: \[ S = \frac{14}{3} - \left( \frac{-4}{3} \right) = \frac{14}{3} + \frac{4}{3} = \frac{18}{3} = 6 \] Vậy diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = x^2 + 1 \), \( x = -1 \), \( x = 2 \) và trục hoành là \( 6 \). Câu 4: Để tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng quanh trục Ox, ta cần biết diện tích của hình phẳng đó và sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay. Giả sử hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = g(x) \), \( x = a \), và \( x = b \). Khi quay hình phẳng này quanh trục Ox, thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tính theo công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)^2 - g(x)^2] \, dx \] Trước tiên, ta cần xác định các hàm \( f(x) \) và \( g(x) \), cũng như khoảng \( [a, b] \). Giả sử trong bài toán này, hình phẳng được giới hạn bởi các đường \( y = x^2 \) và \( y = 0 \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 1 \). Thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tính như sau: \[ V = \pi \int_{0}^{1} [x^2]^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} x^4 \, dx \] Bây giờ, ta thực hiện phép tích phân: \[ \int_{0}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} \] \[ = \frac{1^5}{5} - \frac{0^5}{5} \] \[ = \frac{1}{5} \] Do đó, thể tích \( V \) là: \[ V = \pi \cdot \frac{1}{5} \] \[ V = \frac{\pi}{5} \] Lấy giá trị của \( \pi \approx 3.14159 \): \[ V \approx \frac{3.14159}{5} \] \[ V \approx 0.628318 \] Làm tròn đến hàng phần mười: \[ V \approx 0.6 \] Vậy thể tích của khối tròn xoay là \( 0.6 \) đơn vị thể tích.