cho đường tròn tâm I nội tiếp tam giác abc, tiếp xúc với ab,ác, lần lượt tại f và E kẻ cl vuông góc với bI chứng minh rằng a. tứ giác AEIF là tứ giác nội tiếp b àI =kic c.ba điểm f,e,k thẳng hàng

Gọi J là trung điểm của IC.

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC tại E nên IE ⊥ AC tại E. Do đó$$ nên điểm E thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Vì CK ⊥ BI tại K nên $$ hay $$ nên điểm K thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Do đó bốn điểm I, E, K, C cùng thuộc đường tròn tâm J, đường kính IC.

Như vậy, tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.

Suy ra $$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC). (3)

⦁ Vì đường tròn (I) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI, CI là các đường phân giác của tam giác ABC.

Gọi P là giao điểm của AI và EF.

Do AI là tia phân giác của góc BAC nên$$

Do BI là tia phân giác của góc ABC nên $$

Do CI là tia phân giác của góc ACB nên $$

Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E hay AE, AF là hai tiếp tuyến của đường tròn (I), do đó IE = IF và AE = AF.

Suy ra AI là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AI ⊥ EF tại P.

Xét ∆APE có $$

Suy ra $$

Do đó $$ (1)

Xét ∆IBC có  là góc ngoài của tam giác tại đỉnh I nên

$$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $$ (4)

Từ (3) và (4), suy ra $$

Mà $$ (hai góc kề bù) nên $$ hay ˆKEF=180°.$$

Vậy ba điểm F, E, K thẳng hàng.