giải bài toán sau Câu 2 (1,0 điểm). Cho biểu thức $A=(\frac{x+2\sqrt x}{\sqrt x+2}-\frac{\sqrt x-1}{x-\sqrt x}):\frac{\sqrt x+1}x(x0,~x
e1).$,a) Rút gọn biểu thức A.,b) Tìm giá trị nhỏ nhất $P=A-4\sqrt x.$

Question

giải bài toán sau Câu 2 (1,0 điểm). Cho biểu thức $A=(\frac{x+2\sqrt x}{\sqrt x+2}-\frac{\sqrt x-1}{x-\sqrt x}):\frac{\sqrt x+1}x(x>0,~x
e1).$,a) Rút gọn biểu thức A.,b) Tìm giá trị nhỏ nhất $P=A-4\sqrt x.$

Accepted Answer

Câu 2
a) Rút gọn biểu thức $A$:
Điều kiện xác định: $x > 0, x \neq 1$.

Ta có:
$$ A = \left( \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x} $$

Rút gọn từng phân thức:
$$ \frac{x + 2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} = \sqrt{x} $$
$$ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{x}} $$

Do đó:
$$ A = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) : \frac{\sqrt{x} + 1}{x} $$

Nhân với nghịch đảo:
$$ A = \left( \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \cdot \frac{x}{\sqrt{x} + 1} $$

Rút gọn:
$$ A = \frac{x\sqrt{x} - x}{\sqrt{x} + 1} = \frac{x(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} $$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = A - 4\sqrt{x}$:
$$ P = \frac{x(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} + 1} - 4\sqrt{x} $$

Đặt $t = \sqrt{x}$, ta có:
$$ P = \frac{t^3 - t}{t + 1} - 4t $$

Rút gọn:
$$ P = \frac{t(t^2 - 1)}{t + 1} - 4t = \frac{t(t - 1)(t + 1)}{t + 1} - 4t = t(t - 1) - 4t = t^2 - t - 4t = t^2 - 5t $$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = t^2 - 5t$:
$$ P = t^2 - 5t = \left( t - \frac{5}{2} \right)^2 - \frac{25}{4} $$

Giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-\frac{25}{4}$, đạt được khi $t = \frac{5}{2}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là $-\frac{25}{4}$.