Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp $$. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , E là điểm đối xứng của H qua $$ là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC . 1. Chứng m...

Bài 28 1. Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành: - Ta có F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC, nên FI = HI và BF = CH. - Do đó, tứ giác BHCF là hình bình hành (vì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm). 2. Chứng minh E, F nằm trên đường tròn (O): - Ta có E là điểm đối xứng của H qua BC, nên HE vuông góc với BC tại trung điểm của HE. - Vì H là trực tâm của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. - Do đó, HE song song với AH, và HE = AH (do E đối xứng với H qua BC). - Suy ra tứ giác AHFE là hình bình hành, nên AF = HE = AH. - Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên A, H, F thẳng hàng và AF = AH. - Do đó, F nằm trên đường tròn (O) (vì AF = AH và A, H, F thẳng hàng). - Tương tự, ta có E cũng nằm trên đường tròn (O). 3. Chứng minh tứ giác BCFE là hình thang cân: - Ta đã chứng minh BHCF là hình bình hành, nên BC song song với HF. - Ta có E là điểm đối xứng của H qua BC, nên BE = HC và EF = BC. - Do đó, tứ giác BCFE là hình thang cân (vì BC song song với EF và BE = HC). 4. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC: - Ta có G là giao điểm của AI và OH. - Vì F là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC, nên OF = OH. - Ta có OI = IH (vì I là trung điểm của BC), nên OI = IH = IF. - Do đó, G là trung điểm của OH và AI. - Vì G là trung điểm của OH và AI, nên G là trọng tâm của tam giác ABC (theo định lý về trọng tâm của tam giác).