Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp $(\mathrm{O})$. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , E là điểm đối xứng của H qua $\mathrm{BC} ; \mathrm{F}$ là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC . 1. Chứng m...

Bài 28:

1. Theo giả thiêt F là điêm đôi xứng của H qua trung điêm I của $\mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{I}$ là trung điểm BC và $\mathrm{HE} \Rightarrow \mathrm{BHCF}$ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường .

2. $(\boldsymbol{})$ Tứ giác $\mathrm{AB}^{\prime} \mathrm{HC}^{\prime}$ nội tiếp $=>\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{HC}^{\prime}=180^{\circ}$ mà $\angle \mathrm{BHC}=\angle \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{HC}^{\prime}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{BHC}=180^{\circ}$. Theo trên BHCF là hình bình hành $=>\angle \mathrm{BHC}=\angle \mathrm{BFC}=>\angle \mathrm{BFC}+\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ Tứ giác ABFC nội tiếp $=>\mathrm{F}$ thuộc $(\mathrm{O})$.
* H và E đối xứng nhau qua $\mathrm{BC} \Rightarrow \triangle \mathrm{BHC}=\triangle \mathrm{BEC}$ (c.c.c) $\Rightarrow \angle \mathrm{BHC}=\angle \mathrm{BEC} \Rightarrow \angle \mathrm{BEC}+\angle \mathrm{BAC}=$ $180^{\circ}=>$ ABEC nội tiếp $\Rightarrow>$ E thuộc $(\mathrm{O})$.
3. Ta có H và E đối xứng nhau qua $\mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{BC} \perp \mathrm{HE}$ (1) và $\mathrm{IH}=\mathrm{IE}$ mà I là trung điểm của của HF $\Rightarrow \mathrm{EI}=1 / 2 \mathrm{HE} \Rightarrow>$ tam giác HEF vuông tại E hay $\mathrm{FE} \perp \mathrm{HE}$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow \mathrm{EF} / / \mathrm{BC}=>\mathrm{BEFC}$ là hình thang. (3)
Theo trên $\mathrm{E} \in(\mathrm{O})=>\angle \mathrm{CBE}=\angle \mathrm{CAE}$ ( nội tiếp cùng chắn cung CE ) (4).
Theo trên $\mathrm{F} \in(\mathrm{O})$ và $\angle \mathrm{FEA}=90^{\circ} \Rightarrow \mathrm{AF}$ là đường kính của $(\mathrm{O}) \Rightarrow \angle \mathrm{ACF}=90^{\circ}=>\angle \mathrm{BCF}=\angle \mathrm{CAE}$ ( vì cùng phụ $\angle \mathrm{ACB}$ ) (5).
Từ (4) và $(5)=\angle \angle \mathrm{BCF}=\angle \mathrm{CBE}$ (6).
Từ (3) và $(6)=>$ tứ giác BEFC là hình thang cân.

4. Theo trên AF là đường kính của $(\mathrm{O})=>\mathrm{O}$ là trung điểm của $\mathrm{AF} ; \mathrm{BHCF}$ là hình bình hành $=>\mathrm{I}$ là trung điểm của $\mathrm{HF}=>\mathrm{OI}$ là đường trung bình của tam giác $\mathrm{AHF}=>\mathrm{OI}=1 / 2 \mathrm{AH}$.
Theo giả thiết I là trung điểm của $\mathrm{BC} \Rightarrow \mathrm{OI} \perp \mathrm{BC}$ (Quan hệ đường kính và dây cung) $\Rightarrow \angle \mathrm{OIG}=$ $\angle \mathrm{HAG}$ (vì so le trong); lại có $\angle \mathrm{OGI}=\angle \mathrm{HGA}$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \triangle \mathrm{OGI} \sim \triangle \mathrm{HGA} \Rightarrow \frac{G I}{G A}=\frac{O I}{H A}$ mà $\mathrm{OI}=\frac{1}{2}$
AH
$\Rightarrow \frac{G I}{G A}=\frac{1}{2}$ mà AI là trung tuyến của $\triangle \mathrm{ABC}$ (do I là trung diểm của BC ) $\Rightarrow \mathrm{G}$ là trọng tâm của $\triangle \mathrm{ABC}$.