Câu 1. Cho hàm số f(x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 2x - 1 F(x) = integrate f(x) dx Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) F' * (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 2x - 1

b) Hàm số y = 1/4 * x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x một nguyên hàm của hàm số f(x) .

c) F(x) = 1/4 * x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x

d) Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn F(0) = 1 Khi đó F(1) = 5/4 f(x)

Câu 2. Cho hàm số f(x) = x ^ 5 - 4x ^ 3 - x ^ 2 + x + 1 Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau?

I = integrate f(x) dx from 0 to 1 = integrate (x ^ 5 - 4x ^ 1 - x ^ 2 + x + 1) dx from 0 to 1 =( x^ 4 6 -x^ 4 - x^ 3 3 + x^ 2 2 +x) 1 ^ 6

b) I = integrate f(x) dx from 0 to 1 = 1/3

c) I = integrate f(x) dx from 0 to 1 = integrate (x ^ 5 - 4x ^ 5) dx from 0 to 1 + integrate (x ^ 2 + x + 1) dx from 0 to 1

d) J = integrate f(2x) dx from 0 to 1/2 = 1/9

Câu 3. Cho đường y = x ^ 2 có thị là (P), y = - 1/3 * x + 4/3 có đồ thị là (d) và trục hoành. Gọi S_{1} là diện tích giới hạn bởi (P), trục và đường thẳng x = 1 Gọi S_{2} là diện tích giới hạn bởi (d), trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 4 Gọi S là diện tích giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) S_{1} = 1/3

b) S_{2} = 3/2

c) S = S_{1} + S_{2}

d) S = 11/6

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(- 1; 1; 0) B(1; - 1; 2) C(1; - 2; 1) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là [ vec AB , vec AC ] .

b) Véc tơ n = (1; 2; 3) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

c) Véc tơ vec u = (1; 1; 0) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng đi qua O và chứa đường thẳng AB.

44

d) Véc tơ vec v = (1; 2; 3) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đường thẳng AB và OC.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là I(t) = Q' * (t) = 3t ^ 2 - 6t + 5 với Q(t) là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm 1. Biết khi t = 1 truyền trong dây dẫn là Q(I) = 4 Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi t = 3

Câu 2. Biết F(x) = x ^ 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Tính integrate [1 + f(x)] dx from 1 to 3

Câu 3. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ . Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

9

6

23

năm

m

Câu 4. Cho hình vuông OABC cạnh bằng 4 chia thành hai hình phẳng bởi đồ thị hàm số y = 1/4 * x ^ 2 tích S₁, S, như hình vẽ. Tính tỷ số S_{1}/S_{2} có diện

C

y = 1/4 * x ^ 2

B

S1

2+

S $2

0

A

Câu 5. Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh: A(0; 1; 2) B(0; 1; 3, 5) C(0; 4; 3, 5) D(0; 2, 5; 2) và E(2; 1; 2) (như hình vẽ). Tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH ?

G

F

B

H

X

D

A

16

.co

012

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 1. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H trùng với trung điểm của AB, biết SH = sqrt(3) . Gọi M là giao điểm của HD và AC. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trang 3/4

Question

Câu 1. Cho hàm số f(x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 2x - 1 F(x) = integrate f(x) dx Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) F' * (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 2x - 1

b) Hàm số y = 1/4 * x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x một nguyên hàm của hàm số f(x) .

c) F(x) = 1/4 * x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x

d) Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số thỏa mãn F(0) = 1 Khi đó F(1) = 5/4 f(x)

Câu 2. Cho hàm số f(x) = x ^ 5 - 4x ^ 3 - x ^ 2 + x + 1 Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau?

I = integrate f(x) dx from 0 to 1 = integrate (x ^ 5 - 4x ^ 1 - x ^ 2 + x + 1) dx from 0 to 1 =( x^ 4 6 -x^ 4 - x^ 3 3 + x^ 2 2 +x) 1 ^ 6

b) I = integrate f(x) dx from 0 to 1 = 1/3

c) I = integrate f(x) dx from 0 to 1 = integrate (x ^ 5 - 4x ^ 5) dx from 0 to 1 + integrate (x ^ 2 + x + 1) dx from 0 to 1

d) J = integrate f(2x) dx from 0 to 1/2 = 1/9

Câu 3. Cho đường y = x ^ 2 có thị là (P), y = - 1/3 * x + 4/3 có đồ thị là (d) và trục hoành. Gọi S_{1} là diện tích giới hạn bởi (P), trục và đường thẳng x = 1 Gọi S_{2} là diện tích giới hạn bởi (d), trục tung, trục hoành và đường thẳng x = 4 Gọi S là diện tích giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành.

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) S_{1} = 1/3

b) S_{2} = 3/2

c) S = S_{1} + S_{2}

d) S = 11/6

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(- 1; 1; 0) B(1; - 1; 2) C(1; - 2; 1) Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau?

a) Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là [ vec AB , vec AC ] .

b) Véc tơ n = (1; 2; 3) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

c) Véc tơ vec u = (1; 1; 0) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng đi qua O và chứa đường thẳng AB.

44

d) Véc tơ vec v = (1; 2; 3) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đường thẳng AB và OC.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1. Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là I(t) = Q' * (t) = 3t ^ 2 - 6t + 5 với Q(t) là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm 1. Biết khi t = 1 truyền trong dây dẫn là Q(I) = 4 Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi t = 3

Câu 2. Biết F(x) = x ^ 3 là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R. Tính integrate [1 + f(x)] dx from 1 to 3

Câu 3. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(2; 9) và trục đối xứng song song với trục tung như hình vẽ . Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

9

6

23

năm

m

Câu 4. Cho hình vuông OABC cạnh bằng 4 chia thành hai hình phẳng bởi đồ thị hàm số y = 1/4 * x ^ 2 tích S₁, S, như hình vẽ. Tính tỷ số S_{1}/S_{2} có diện

C

y = 1/4 * x ^ 2

B

S1

2+

S $2

0

A

Câu 5. Thùng của một máy nông nghiệp được thiết kế mô phỏng trong hệ trục Oxyz là một hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH với các đỉnh: A(0; 1; 2) B(0; 1; 3, 5) C(0; 4; 3, 5) D(0; 2, 5; 2) và E(2; 1; 2) (như hình vẽ). Tính chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH ?

G

F

B

H

X

D

A

16

.co

012

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 1. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H trùng với trung điểm của AB, biết SH = sqrt(3) . Gọi M là giao điểm của HD và AC. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trang 3/4

Accepted Answer

Câu 1.
a) Đúng vì F'(x) = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1

b) Đúng vì y' = (1/4)x^4 - x^3 + x^2 - x = f(x)

c) Sai vì F(x) = ∫f(x)dx = (1/4)x^4 - x^3 + x^2 - x + C

d) Đúng vì F(0) = 1 suy ra C = 1 nên F(x) = (1/4)x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 suy ra F(1) = 5/4

Câu 2.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một.

Mệnh đề I:
$$ I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (x^5 - 4x^3 - x^2 + x + 1) \, dx $$

Tính tích phân từng phần:
$$
\int_{0}^{1} (x^5 - 4x^3 - x^2 + x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^6}{6} - x^4 - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1}
$$

Thay giới hạn vào:
$$
= \left( \frac{1^6}{6} - 1^4 - \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1 \right) - \left( \frac{0^6}{6} - 0^4 - \frac{0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0 \right)
$$
$$
= \left( \frac{1}{6} - 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - 0
$$
$$
= \frac{1}{6} - 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1
$$
$$
= \frac{1}{6} - \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + 1 - 1
$$
$$
= \frac{1 - 2 + 3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
$$

Vậy mệnh đề I là đúng.

Mệnh đề b):
$$ I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{3} $$

Chúng ta đã tính ở trên và thấy rằng:
$$ I = \frac{1}{3} $$

Vậy mệnh đề b) là đúng.

Mệnh đề c):
$$ I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (x^5 - 4x^3) \, dx + \int_{0}^{1} (x^2 + x + 1) \, dx $$

Chúng ta tách tích phân thành hai phần:
$$
\int_{0}^{1} (x^5 - 4x^3) \, dx + \int_{0}^{1} (x^2 + x + 1) \, dx
$$

Tính từng phần:
$$
\int_{0}^{1} (x^5 - 4x^3) \, dx = \left[ \frac{x^6}{6} - x^4 \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{6} - 1 \right) - 0 = \frac{1}{6} - 1 = -\frac{5}{6}
$$

$$
\int_{0}^{1} (x^2 + x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} + \frac{6}{6} = \frac{11}{6}
$$

Cộng lại:
$$
-\frac{5}{6} + \frac{11}{6} = \frac{6}{6} = 1
$$

Như vậy, mệnh đề c) là sai vì tích phân tổng không bằng $\frac{1}{3}$.

Mệnh đề d):
$$ J = \int_{0}^{1/2} f(2x) \, dx = \frac{1}{9} $$

Thay $ u = 2x $, thì $ du = 2 \, dx $ và khi $ x = 0 $, $ u = 0 $; khi $ x = \frac{1}{2} $, $ u = 1 $. Do đó:
$$
J = \int_{0}^{1/2} f(2x) \, dx = \int_{0}^{1} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(u) \, du
$$

Chúng ta đã biết:
$$
\int_{0}^{1} f(u) \, du = \frac{1}{3}
$$

Do đó:
$$
J = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
$$

Vậy mệnh đề d) là sai vì $ J = \frac{1}{6} \neq \frac{1}{9} $.

Kết luận:
- Mệnh đề I: Đúng
- Mệnh đề b): Đúng
- Mệnh đề c): Sai
- Mệnh đề d): Sai

Câu 3.
Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ tính diện tích $S_1$, $S_2$ và $S$ theo từng bước.

a) Tính $S_1$
Diện tích $S_1$ giới hạn bởi đường parabol $y = x^2$, trục hoành và đường thẳng $x = 1$.
$$ S_1 = \int_{0}^{1} x^2 \, dx $$
Tính tích phân:
$$ S_1 = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} $$
Vậy $S_1 = \frac{1}{3}$. Mệnh đề a) đúng.
b) Tính $S_2$
Diện tích $S_2$ giới hạn bởi đường thẳng $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$, trục tung, trục hoành và đường thẳng $x = 4$.
$$ S_2 = \int_{0}^{4} \left( -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} \right) \, dx $$
$$ S_2 = \left[ -\frac{1}{6}x^2 + \frac{4}{3}x \right]_{0}^{4} = \left( -\frac{1}{6}(4)^2 + \frac{4}{3}(4) \right) - \left( -\frac{1}{6}(0)^2 + \frac{4}{3}(0) \right) $$
$$ S_2 = \left( -\frac{16}{6} + \frac{16}{3} \right) = \left( -\frac{8}{3} + \frac{16}{3} \right) = \frac{8}{3} $$
Vậy $S_2 = \frac{8}{3}$. Mệnh đề b) sai.
c) Tính $S$
Diện tích $S$ giới hạn bởi đường parabol $y = x^2$, đường thẳng $y = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ và trục hoành.
Đầu tiên, tìm giao điểm của hai đường:
$$ x^2 = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} $$
$$ 3x^2 + x - 4 = 0 $$
Giải phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6} = \frac{-1 \pm 7}{6} $$
Có hai nghiệm:
$$ x = 1 \quad \text{và} \quad x = -\frac{4}{3} $$
Diện tích $S$ là:
$$ S = \int_{-\frac{4}{3}}^{1} \left( -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3} - x^2 \right) \, dx $$
$$ S = \left[ -\frac{1}{6}x^2 + \frac{4}{3}x - \frac{x^3}{3} \right]_{-\frac{4}{3}}^{1} $$
Tính tại các cận:
$$ S = \left( -\frac{1}{6}(1)^2 + \frac{4}{3}(1) - \frac{(1)^3}{3} \right) - \left( -\frac{1}{6}\left(-\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{4}{3}\left(-\frac{4}{3}\right) - \frac{\left(-\frac{4}{3}\right)^3}{3} \right) $$
$$ S = \left( -\frac{1}{6} + \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{1}{6}\left(\frac{16}{9}\right) - \frac{16}{9} + \frac{64}{81} \right) $$
$$ S = \left( -\frac{1}{6} + \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{64}{81} \right) $$
$$ S = \left( -\frac{1}{6} + \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{8}{27} - \frac{48}{27} + \frac{64}{81} \right) $$
$$ S = \left( -\frac{1}{6} + \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{56}{27} + \frac{64}{81} \right) $$
$$ S = \left( -\frac{1}{6} + \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{168}{81} + \frac{64}{81} \right) $$
$$ S = \left( -\frac{1}{6} + \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( -\frac{104}{81} \right) $$
$$ S = \left( -\frac{1}{6} + \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \right) + \frac{104}{81} $$

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.

Câu 4.
a) Đúng vì [ vec AB , vec AC ] là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

b) Sai vì véc tơ n = (1; 2; 3) không vuông góc với cả vec AB và vec AC nên không thể là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

c) Sai vì véc tơ vec u = (1; 1; 0) không vuông góc với cả vec OA và vec OB nên không thể là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đi qua O và chứa đường thẳng AB.

d) Đúng vì véc tơ vec v = (1; 2; 3) vuông góc với cả vec AB và vec OC nên là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng song song với hai đường thẳng AB và OC.

Câu 1.
Để tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi t = 3, ta cần tìm Q(3). Ta biết rằng cường độ dòng điện I(t) là đạo hàm của điện lượng Q(t), tức là I(t) = Q'(t).

Ta có:
$$ I(t) = 3t^2 - 6t + 5 $$

Do đó:
$$ Q(t) = \int (3t^2 - 6t + 5) \, dt $$
$$ Q(t) = t^3 - 3t^2 + 5t + C $$

Biết rằng khi t = 1 thì Q(1) = 4, ta thay vào để tìm hằng số C:
$$ Q(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + C = 4 $$
$$ 1 - 3 + 5 + C = 4 $$
$$ 3 + C = 4 $$
$$ C = 1 $$

Vậy:
$$ Q(t) = t^3 - 3t^2 + 5t + 1 $$

Bây giờ, ta tính Q(3):
$$ Q(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + 1 $$
$$ Q(3) = 27 - 27 + 15 + 1 $$
$$ Q(3) = 16 $$

Vậy điện lượng truyền trong dây dẫn khi t = 3 là 16 C.

Câu 2.
Để tính tích phân $\int_{1}^{3} [1 + f(x)] \, dx$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của $f(x)$.
- Biết rằng $F(x) = x^3$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$, suy ra $f(x) = F'(x) = 3x^2$.

Bước 2: Viết lại tích phân cần tính.
- Ta có $\int_{1}^{3} [1 + f(x)] \, dx = \int_{1}^{3} [1 + 3x^2] \, dx$.

Bước 3: Tính tích phân từng phần.
- $\int_{1}^{3} [1 + 3x^2] \, dx = \int_{1}^{3} 1 \, dx + \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx$.

Bước 4: Tính từng tích phân riêng lẻ.
- $\int_{1}^{3} 1 \, dx = [x]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2$.
- $\int_{1}^{3} 3x^2 \, dx = 3 \int_{1}^{3} x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} = 3^3 - 1^3 = 27 - 1 = 26$.

Bước 5: Cộng các kết quả lại.
- $\int_{1}^{3} [1 + 3x^2] \, dx = 2 + 26 = 28$.

Vậy, $\int_{1}^{3} [1 + f(x)] \, dx = 28$.

Câu 3.
Để tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ, ta cần tính diện tích dưới đồ thị vận tốc theo thời gian từ t = 0 đến t = 3.

Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol.
- Đỉnh của parabol là I(2; 9), do đó phương trình có dạng: $ y = a(x - 2)^2 + 9 $.
- Ta biết rằng khi t = 0 thì v = 6, thay vào phương trình ta có:
$$ 6 = a(0 - 2)^2 + 9 $$
$$ 6 = 4a + 9 $$
$$ 4a = -3 $$
$$ a = -\frac{3}{4} $$

Vậy phương trình của đường parabol là:
$$ v(t) = -\frac{3}{4}(t - 2)^2 + 9 $$

Bước 2: Tính diện tích dưới đồ thị từ t = 0 đến t = 3.
Diện tích này chính là tích phân của hàm số $ v(t) $ từ 0 đến 3:
$$ S = \int_{0}^{3} \left( -\frac{3}{4}(t - 2)^2 + 9 \right) dt $$

Bước 3: Tính tích phân.
$$ S = \int_{0}^{3} \left( -\frac{3}{4}(t - 2)^2 + 9 \right) dt $$
$$ S = \int_{0}^{3} \left( -\frac{3}{4}(t^2 - 4t + 4) + 9 \right) dt $$
$$ S = \int_{0}^{3} \left( -\frac{3}{4}t^2 + 3t - 3 + 9 \right) dt $$
$$ S = \int_{0}^{3} \left( -\frac{3}{4}t^2 + 3t + 6 \right) dt $$

Tính từng phần:
$$ \int_{0}^{3} -\frac{3}{4}t^2 dt = -\frac{3}{4} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_0^3 = -\frac{3}{4} \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = -\frac{3}{4} \times 9 = -\frac{27}{4} $$

$$ \int_{0}^{3} 3t dt = 3 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^3 = 3 \left( \frac{9}{2} - 0 \right) = 3 \times \frac{9}{2} = \frac{27}{2} $$

$$ \int_{0}^{3} 6 dt = 6 \left[ t \right]_0^3 = 6 \times (3 - 0) = 18 $$

Cộng lại:
$$ S = -\frac{27}{4} + \frac{27}{2} + 18 $$
$$ S = -\frac{27}{4} + \frac{54}{4} + \frac{72}{4} $$
$$ S = \frac{-27 + 54 + 72}{4} $$
$$ S = \frac{99}{4} $$
$$ S = 24.75 $$

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là 24.75 km. Làm tròn đến hàng phần mười, ta có:
$$ \boxed{24.8} \text{ km} $$

Câu 4.
Để tính tỷ số $ \frac{S_1}{S_2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm diện tích hình vuông OABC:
   - Hình vuông OABC có cạnh bằng 4.
   - Diện tích hình vuông OABC là:
     $$
     S_{OABC} = 4 \times 4 = 16
     $$

2. Tìm diện tích phần dưới đồ thị hàm số $ y = \frac{1}{4}x^2 $ trong hình vuông OABC:
   - Đồ thị hàm số $ y = \frac{1}{4}x^2 $ cắt trục Ox tại điểm (0,0) và cắt cạnh AB của hình vuông tại điểm (4,4).
   - Diện tích phần dưới đồ thị hàm số từ x = 0 đến x = 4 là:
     $$
     S_{\text{dưới đồ thị}} = \int_{0}^{4} \left( \frac{1}{4}x^2 \right) dx
     $$
   - Tính tích phân:
     $$
     \int_{0}^{4} \left( \frac{1}{4}x^2 \right) dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{4} x^2 dx = \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \frac{1}{4} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{4} \times \frac{64}{3} = \frac{16}{3}
     $$

3. Tìm diện tích phần trên đồ thị hàm số $ y = \frac{1}{4}x^2 $ trong hình vuông OABC:
   - Diện tích phần trên đồ thị hàm số là diện tích hình vuông trừ đi diện tích phần dưới đồ thị hàm số:
     $$
     S_{\text{trên đồ thị}} = S_{OABC} - S_{\text{dưới đồ thị}} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
     $$

4. Tìm tỷ số $ \frac{S_1}{S_2} $:
   - $ S_1 $ là diện tích phần dưới đồ thị hàm số, $ S_2 $ là diện tích phần trên đồ thị hàm số.
   - Tỷ số $ \frac{S_1}{S_2} $ là:
     $$
     \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{16}{3}}{\frac{32}{3}} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}
     $$

Vậy tỷ số $ \frac{S_1}{S_2} $ là $ \frac{1}{2} $.

Câu 5.
Chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH là khoảng cách giữa hai mặt đáy ABCD và EFGH.

Trước tiên, ta tìm vectơ pháp tuyến của mặt đáy ABCD. Ta có:
- Vectơ $\overrightarrow{AB} = (0, 0, 1,5)$
- Vectơ $\overrightarrow{AD} = (0, 1,5, 0)$

Vectơ pháp tuyến của mặt đáy ABCD là $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}$. Ta tính tích vector như sau:
$$
\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
0 & 0 & 1,5 \
0 & 1,5 & 0 
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - 2,25) - \mathbf{j}(0 - 0) + \mathbf{k}(0 - 0) = (-2,25, 0, 0)
$$

Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt đáy ABCD là $\overrightarrow{n} = (-2,25, 0, 0)$.

Tiếp theo, ta tìm khoảng cách từ điểm E đến mặt đáy ABCD. Phương trình mặt phẳng ABCD là:
$$ -2,25(x - 0) + 0(y - 1) + 0(z - 2) = 0 $$
$$ -2,25x = 0 $$
$$ x = 0 $$

Khoảng cách từ điểm E(2; 1; 2) đến mặt phẳng này là:
$$ d = \frac{|2,25 \cdot 2|}{\sqrt{(-2,25)^2}} = \frac{4,5}{2,25} = 2 $$

Vậy chiều cao của hình lăng trụ ABCD.EFGH là 2 đơn vị.

Câu 6.
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD), ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm tọa độ các điểm:
   - Đáy ABCD là hình vuông cạnh 1, ta đặt:
     - A(0, 0, 0)
     - B(1, 0, 0)
     - C(1, 1, 0)
     - D(0, 1, 0)
   - Điểm H là trung điểm của AB, nên H có tọa độ:
     - H(0.5, 0, 0)
   - Điểm S có tọa độ:
     - S(0.5, 0, sqrt(3))

2. Tìm tọa độ điểm M:
   - M là giao điểm của HD và AC.
   - Đường thẳng HD có phương vector $\overrightarrow{HD} = (-0.5, 1, -\sqrt{3})$.
   - Đường thẳng AC có phương vector $\overrightarrow{AC} = (1, 1, 0)$.
   - Ta viết phương trình tham số của HD và AC:
     - HD: $(x, y, z) = (0.5, 0, \sqrt{3}) + t(-0.5, 1, -\sqrt{3})$
     - AC: $(x, y, z) = (0, 0, 0) + s(1, 1, 0)$
   - Giải hệ phương trình để tìm giao điểm M:
     - $0.5 - 0.5t = s$
     - $t = s$
     - $s = 0.5$
     - Do đó, tọa độ của M là:
       - M(0.5, 0.5, 0)

3. Tìm diện tích tam giác SCD:
   - Vector $\overrightarrow{SD} = (-0.5, 1, -\sqrt{3})$
   - Vector $\overrightarrow{SC} = (0.5, 1, -\sqrt{3})$
   - Tích vector $\overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SC}$:
     - $\overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     -0.5 & 1 & -\sqrt{3} \
     0.5 & 1 & -\sqrt{3}
     \end{vmatrix} = (0, 0, -1)$
   - Diện tích tam giác SCD:
     - $S_{SCD} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SC} \| = \frac{1}{2} \sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2} = \frac{1}{2}$

4. Tính thể tích khối chóp SCDM:
   - Thể tích khối chóp SCDM:
     - $V_{SCDM} = \frac{1}{3} \cdot S_{SCD} \cdot d(M, (SCD))$
   - Diện tích tam giác SCD đã tính là $\frac{1}{2}$.
   - Thể tích khối chóp SCDM cũng có thể tính qua thể tích khối chóp SABC và tỉ lệ thể tích:
     - $V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
     - Tỉ lệ thể tích giữa SCDM và SABC là $\frac{1}{2}$ (vì M nằm trên đường chéo AC của hình vuông ABCD):
     - $V_{SCDM} = \frac{1}{2} \cdot V_{SABC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

5. Tìm khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SCD):
   - $d(M, (SCD)) = \frac{3 \cdot V_{SCDM}}{S_{SCD}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$

Do đó, khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SCD) là $\sqrt{3} \approx 1.73$.

Câu 1. Cho hàm số f(x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 2x - 1 F(x) = integrate f(x) dx Các mệnh đề sau đúng hay sai? a) F' * (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 + 2x - 1 b) Hàm số y = 1/4 * x ^ 4 - x ^ 3 + x ^ 2 - x một nguyên...