Giup voiii Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho $A(-5;3;-1),~B(3;7;-5).$ Gọi (S) là mặt cầu nhận AB làm,đường kính. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:,aa) (S) có tâm $I(-1;5;-3).$,b) (S) có bán kính $R=IA=2\sqrt6.$ $\Rightarrow I(-1;-5;3)$,c) (S) có phương trình $x^2+y^2+z^2+2x+10y-6z+1=0.$,d) Mặt phẳng (Oxy) và mặt cầu (S) có một đường tròn chung.

Question

Accepted Answer

Câu 3:
Để kiểm tra tính đúng sai của các khẳng định, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Kiểm tra tâm của mặt cầu (S):
Tâm của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn thẳng AB.
$$ I = \left( \frac{-5 + 3}{2}, \frac{3 + 7}{2}, \frac{-1 - 5}{2} \right) = (-1, 5, -3) $$
Vậy khẳng định a) là đúng.

b) Kiểm tra bán kính của mặt cầu (S):
Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến một trong hai điểm A hoặc B.
$$ IA = \sqrt{(-1 + 5)^2 + (5 - 3)^2 + (-3 + 1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} $$
Vậy khẳng định b) là đúng.

c) Kiểm tra phương trình của mặt cầu (S):
Phương trình tổng quát của mặt cầu có tâm $ I(a, b, c) $ và bán kính $ R $ là:
$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 $$
Thay $ I(-1, 5, -3) $ và $ R = 2\sqrt{6} $ vào phương trình:
$$ (x + 1)^2 + (y - 5)^2 + (z + 3)^2 = (2\sqrt{6})^2 $$
$$ (x + 1)^2 + (y - 5)^2 + (z + 3)^2 = 24 $$
Mở rộng phương trình:
$$ x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25 + z^2 + 6z + 9 = 24 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 10y + 6z + 35 = 24 $$
$$ x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 10y + 6z + 11 = 0 $$
Phương trình này không giống với phương trình đã cho $ x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 10y - 6z + 1 = 0 $.
Vậy khẳng định c) là sai.

d) Kiểm tra giao giữa mặt phẳng (Oxy) và mặt cầu (S):
Mặt phẳng (Oxy) có phương trình $ z = 0 $. Thay $ z = 0 $ vào phương trình mặt cầu:
$$ x^2 + y^2 + 2x - 10y + 11 = 0 $$
Đây là phương trình của một đường tròn trong mặt phẳng (Oxy).
Vậy khẳng định d) là đúng.

Kết luận:
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Đúng