giải chi tiết giúp e Câu 1: Tìm điểm cực tiểu $x_{CT}$ của hàm số $y=x^3+3x^2-9x$,$A.~x_{CT}=0$ $B.~x_{CT}=1$ $C.~x_{CT}=-1$ $D.~x_{CT}=-3$,Câu 2:Cho hàm số $y=x^3-3x^2+1.$ Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng,A.-3 B.3 C.6 D.0,Câu 3: Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị ?,A. 3 B. 0 C. 2 D. 1,Câu 4: Hàm số $y=\frac13x^3+x^2-\frac23$ có,A. Điểm cực đại tại $x=-2,$ điểm cực tiểu tại $x=0.$,B. Điểm cực tiểu tại $x=-2,$ điểm cực đại tại $x=0.$,C. Điểm cực đại tại $x=-3,$ điểm cực tiểu tại $x=0.$,D. Điểm cực đại tại $x=-2,$ điểm cực tiểu tại $x=2.$,Câu 5: Điểm cực trị của hàm số $y=x^3-3x^2+2x-1$ là $x_1,x_2.$ Tính $x_1+x_2$,A. 2 B. 1 C. -1 D. 0,Câu 6:Cho hàm số $y=-\frac13x^3+4x^2-5x-17$ có hai cực trị $x_1,x_2.$ Hỏi $x_1.x_2$ là bao nhiêu ?,$A.~x_1.x_2=-8$ $B.~x_1.x_2=8$ $C.~x_1.x_2=5$ $D.~x_1.x_2=-5.$,Câu 7. Cho hàm số $y=x^3+3x+2.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? ( thi 2017),A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty).$,B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;+\infty).$,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty).$,D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)$ và đồng biến trên khoảng $(0;+\infty).$,Câu 8 : Cho hàm số $y=x^4-2x^2.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?,A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-2)$,B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$,3,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$,D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$,Câu 9: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac13x^3-mx^2+(m^2-4)x+3$ đạt cực đại tại $x=3.$,( thi 2017),$A.~m=1$ $B.~m=-1$ $C.~m=5$ $D.~m=-7$,Câu 10:Cho hàm số $y=x^3-2mx+1.$ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại $x=1?$,$A.~m=\frac23;$ $B.~m=\frac32;$ $C.~m=-\frac23.$ $D.~m=-\frac32;$,Câu 11:Tìm m để hàm số $y=x^3-3mx^2-(5m+7)x+2$ đạt cực đại tại $x=-1$,$A.~m=-4$ $B.~m=4$ $C.~m=2$ $D.~m=-2$,Câu 12: Cho hàm số $y=f(x)=-x^3+(2m-1)x^2-(2-m)x-2.$ Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực,tiểu?,$A.~m\in(-1;+\infty).$ $B.~m\in(-1;\frac54).$ $C.~m\in(-\infty;-1).$ $D.~m\in(-\infty;-1)\cup(\frac54;+\infty).$,Câu 13: Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị của hàm $y=x^4+2mx^2+m^2+m$ có ba điểm cực trị.,$A.~m=0$ $B.~m0$ $C.~m

Question

giải chi tiết giúp e Câu 1: Tìm điểm cực tiểu $x_{CT}$ của hàm số $y=x^3+3x^2-9x$,$A.~x_{CT}=0$ $B.~x_{CT}=1$ $C.~x_{CT}=-1$ $D.~x_{CT}=-3$,Câu 2:Cho hàm số $y=x^3-3x^2+1.$ Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng,A.-3 B.3 C.6 D.0,Câu 3: Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị ?,A. 3 B. 0 C. 2 D. 1,Câu 4: Hàm số $y=\frac13x^3+x^2-\frac23$ có,A. Điểm cực đại tại $x=-2,$ điểm cực tiểu tại $x=0.$,B. Điểm cực tiểu tại $x=-2,$ điểm cực đại tại $x=0.$,C. Điểm cực đại tại $x=-3,$ điểm cực tiểu tại $x=0.$,D. Điểm cực đại tại $x=-2,$ điểm cực tiểu tại $x=2.$,Câu 5: Điểm cực trị của hàm số $y=x^3-3x^2+2x-1$ là $x_1,x_2.$ Tính $x_1+x_2$,A. 2 B. 1 C. -1 D. 0,Câu 6:Cho hàm số $y=-\frac13x^3+4x^2-5x-17$ có hai cực trị $x_1,x_2.$ Hỏi $x_1.x_2$ là bao nhiêu ?,$A.~x_1.x_2=-8$ $B.~x_1.x_2=8$ $C.~x_1.x_2=5$ $D.~x_1.x_2=-5.$,Câu 7. Cho hàm số $y=x^3+3x+2.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? ( thi 2017),A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty).$,B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;+\infty).$,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;+\infty).$,D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;0)$ và đồng biến trên khoảng $(0;+\infty).$,Câu 8 : Cho hàm số $y=x^4-2x^2.$ Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?,A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;-2)$,B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;-2)$,3,C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$,D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$,Câu 9: Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac13x^3-mx^2+(m^2-4)x+3$ đạt cực đại tại $x=3.$,( thi 2017),$A.~m=1$ $B.~m=-1$ $C.~m=5$ $D.~m=-7$,Câu 10:Cho hàm số $y=x^3-2mx+1.$ Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại $x=1?$,$A.~m=\frac23;$ $B.~m=\frac32;$ $C.~m=-\frac23.$ $D.~m=-\frac32;$,Câu 11:Tìm m để hàm số $y=x^3-3mx^2-(5m+7)x+2$ đạt cực đại tại $x=-1$,$A.~m=-4$ $B.~m=4$ $C.~m=2$ $D.~m=-2$,Câu 12: Cho hàm số $y=f(x)=-x^3+(2m-1)x^2-(2-m)x-2.$ Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại và cực,tiểu?,$A.~m\in(-1;+\infty).$ $B.~m\in(-1;\frac54).$ $C.~m\in(-\infty;-1).$ $D.~m\in(-\infty;-1)\cup(\frac54;+\infty).$,Câu 13: Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị của hàm $y=x^4+2mx^2+m^2+m$ có ba điểm cực trị.,$A.~m=0$ $B.~m>0$ $C.~m<0$ $D.~m
e0$

Accepted Answer

Câu 1: Để tìm điểm cực tiểu của hàm số $ y = x^3 + 3x^2 - 9x $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 9x) = 3x^2 + 6x - 9 $$ 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ 3x^2 + 6x - 9 = 0 $$ Chia cả hai vế cho 3: $$ x^2 + 2x - 3 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai này: $$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} $$ $$ x = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-6}{2} = -3 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: Ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm $ y' $ ở các khoảng giữa các nghiệm để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Khi $ x < -3 $: $$ y' = 3x^2 + 6x - 9 > 0 $$ (vì $ x^2 $ và $ 6x $ đều âm, nhưng $ 3x^2 $ lớn hơn $ 6x $ và 9) - Khi $ -3 < x < 1 $: $$ y' = 3x^2 + 6x - 9 < 0 $$ (vì $ x^2 $ dương, $ 6x $ âm và tổng của chúng nhỏ hơn 9) - Khi $ x > 1 $: $$ y' = 3x^2 + 6x - 9 > 0 $$ (vì $ x^2 $ và $ 6x $ đều dương, và tổng của chúng lớn hơn 9) Do đó, tại $ x = -3 $, đạo hàm chuyển từ dương sang âm, nên đây là điểm cực đại. Tại $ x = 1 $, đạo hàm chuyển từ âm sang dương, nên đây là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $ x_{CT} = 1 $. Đáp án đúng là: B. $ x_{CT} = 1 $. Câu 2: Để tìm tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số $ y = x^3 - 3x^2 + 1 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x $$ 2. Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ 3x^2 - 6x = 0 $$ $$ 3x(x - 2) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra đạo hàm ở các khoảng giữa các nghiệm: - Khi $ x < 0 $, chọn $ x = -1 $: $$ y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 $$ - Khi $ 0 < x < 2 $, chọn $ x = 1 $: $$ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 $$ - Khi $ x > 2 $, chọn $ x = 3 $: $$ y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 $$ Từ đó, ta thấy: - $ x = 0 $ là điểm cực đại vì đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm. - $ x = 2 $ là điểm cực tiểu vì đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương. 4. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại $ x = 0 $: $$ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1 $$ - Tại $ x = 2 $: $$ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3 $$ 5. Tính tích các giá trị cực đại và cực tiểu: $$ 1 \times (-3) = -3 $$ Vậy tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số là $-3$. Đáp án đúng là: A. -3 Câu 3: Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ y = \frac{2x + 3}{x + 1} $, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta tính đạo hàm của $ y $: $$ y' = \left( \frac{2x + 3}{x + 1} \right)' = \frac{(2x + 3)'(x + 1) - (2x + 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} $$ $$ y' = \frac{2(x + 1) - (2x + 3)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 3}{(x + 1)^2} = \frac{-1}{(x + 1)^2} $$ 2. Xét dấu đạo hàm: Ta thấy rằng: $$ y' = \frac{-1}{(x + 1)^2} $$ Vì $(x + 1)^2$ luôn dương (trừ khi $x = -1$), nên $y'$ luôn âm ($y' < 0$) trên tập xác định của hàm số (trừ điểm $x = -1$). 3. Xác định tập xác định của hàm số: Hàm số $ y = \frac{2x + 3}{x + 1} $ xác định khi $ x + 1 \neq 0 $, tức là $ x \neq -1 $. 4. Kiểm tra điểm $x = -1$: Điểm $x = -1$ không thuộc tập xác định của hàm số, do đó không thể là điểm cực trị. 5. Kết luận về điểm cực trị: Vì đạo hàm $y'$ luôn âm trên tập xác định của hàm số, hàm số không có điểm cực đại hoặc cực tiểu. Do đó, hàm số $ y = \frac{2x + 3}{x + 1} $ không có điểm cực trị. Đáp án đúng là: B. 0 Câu 4: Để tìm các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số $y=\frac{1}{3}x^3 + x^2 - \frac{2}{3}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \left(\frac{1}{3}x^3 + x^2 - \frac{2}{3}\right)' = x^2 + 2x $$ 2. Tìm các điểm cực trị: Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = x^2 + 2x = 0 $$ $$ x(x + 2) = 0 $$ $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 $$ 3. Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Ta kiểm tra dấu của đạo hàm $y'$ ở các khoảng $( -\infty, -2 )$, $(-2, 0)$ và $(0, +\infty)$ để xác định tính chất của các điểm cực trị. - Khi $x < -2$: Chọn $x = -3$, ta có $y' = (-3)^2 + 2(-3) = 9 - 6 = 3 > 0$. Vậy $y'$ dương trên khoảng $( -\infty, -2 )$. - Khi $-2 < x < 0$: Chọn $x = -1$, ta có $y' = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 < 0$. Vậy $y'$ âm trên khoảng $(-2, 0)$. - Khi $x > 0$: Chọn $x = 1$, ta có $y' = (1)^2 + 2(1) = 1 + 2 = 3 > 0$. Vậy $y'$ dương trên khoảng $(0, +\infty)$. Từ đó, ta thấy: - Tại $x = -2$, đạo hàm chuyển từ dương sang âm, nên đây là điểm cực đại. - Tại $x = 0$, đạo hàm chuyển từ âm sang dương, nên đây là điểm cực tiểu. Vậy hàm số $y=\frac{1}{3}x^3 + x^2 - \frac{2}{3}$ có điểm cực đại tại $x = -2$ và điểm cực tiểu tại $x = 0$. Do đó, đáp án đúng là: A. Điểm cực đại tại $x = -2$, điểm cực tiểu tại $x = 0$. Câu 5: Để tìm điểm cực trị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x - 1) = 3x^2 - 6x + 2 $$ Bước 2: Xác định các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 0 $$ $$ 3x^2 - 6x + 2 = 0 $$ Bước 3: Giải phương trình bậc hai: $$ 3x^2 - 6x + 2 = 0 $$ Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Trong đó, $ a = 3 $, $ b = -6 $, $ c = 2 $: $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} $$ $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} $$ $$ x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} $$ $$ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} $$ $$ x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} $$ Do đó, hai nghiệm là: $$ x_1 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} $$ $$ x_2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} $$ Bước 4: Tính tổng của hai nghiệm: $$ x_1 + x_2 = \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right) $$ $$ x_1 + x_2 = 1 + 1 $$ $$ x_1 + x_2 = 2 $$ Vậy đáp án đúng là: A. 2 Câu 6: Để tìm các giá trị cực trị của hàm số $y = -\frac{1}{3}x^3 + 4x^2 - 5x - 17$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = -x^2 + 8x - 5 $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ -x^2 + 8x - 5 = 0 $$ $$ x^2 - 8x + 5 = 0 $$ Bước 3: Áp dụng công thức Viète để tìm tích của các nghiệm của phương trình bậc hai: Theo công thức Viète, nếu $x_1$ và $x_2$ là các nghiệm của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$, thì: $$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $$ $$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$ Trong phương trình $x^2 - 8x + 5 = 0$, ta có $a = 1$, $b = -8$, và $c = 5$. Do đó: $$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5 $$ Vậy, tích của các giá trị cực trị $x_1$ và $x_2$ là: $$ x_1 \cdot x_2 = 5 $$ Đáp án đúng là: C. $x_1 \cdot x_2 = 5$ Câu 7. Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $ y = x^3 + 3x + 2 $, ta cần tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x + 2) = 3x^2 + 3 $$ Bước 2: Xét dấu của đạo hàm $ y' $: $$ y' = 3x^2 + 3 $$ Ta thấy rằng $ 3x^2 \geq 0 $ với mọi $ x $, do đó $ 3x^2 + 3 > 0 $ với mọi $ x $. Bước 3: Kết luận về tính chất đồng biến/nghịch biến của hàm số: - Vì $ y' > 0 $ với mọi $ x $, hàm số $ y = x^3 + 3x + 2 $ là hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty; +\infty) $. Do đó, mệnh đề đúng là: C. Hàm số đồng biến trên khoảng $ (-\infty; +\infty) $. Đáp án: C. Câu 8 Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = x^4 - 2x^2$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này. Tính đạo hàm: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x $$ Phân tích đạo hàm: $$ y' = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) $$ Xét dấu của đạo hàm $y'$: - Khi $x < -1$: $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $-1 < x < 0$: $y' > 0$ (hàm số đồng biến) - Khi $0 < x < 1$: $y' < 0$ (hàm số nghịch biến) - Khi $x > 1$: $y' > 0$ (hàm số đồng biến) Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$. Vậy mệnh đề đúng là: D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$. Câu 9: Để hàm số $y=\frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 4)x + 3$ đạt cực đại tại $x = 3$, ta cần tìm giá trị của tham số $m$ sao cho $y'(3) = 0$ và $y''(3) < 0$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = x^2 - 2mx + (m^2 - 4) $$ Bước 2: Thay $x = 3$ vào đạo hàm $y'$ và đặt nó bằng 0: $$ y'(3) = 3^2 - 2m \cdot 3 + (m^2 - 4) = 0 $$ $$ 9 - 6m + m^2 - 4 = 0 $$ $$ m^2 - 6m + 5 = 0 $$ Bước 3: Giải phương trình bậc hai $m^2 - 6m + 5 = 0$: $$ m^2 - 6m + 5 = 0 $$ $$ (m - 1)(m - 5) = 0 $$ $$ m = 1 \text{ hoặc } m = 5 $$ Bước 4: Kiểm tra điều kiện cực đại bằng đạo hàm cấp hai: $$ y'' = 2x - 2m $$ Thay $x = 3$ vào đạo hàm cấp hai $y''$: $$ y''(3) = 2 \cdot 3 - 2m = 6 - 2m $$ Để hàm số đạt cực đại tại $x = 3$, ta cần $y''(3) < 0$: $$ 6 - 2m < 0 $$ $$ 6 < 2m $$ $$ m > 3 $$ Do đó, trong hai giá trị $m = 1$ và $m = 5$, chỉ có $m = 5$ thỏa mãn điều kiện $m > 3$. Vậy giá trị của tham số $m$ để hàm số đạt cực đại tại $x = 3$ là $m = 5$. Đáp án đúng là: C. $m = 5$ Câu 10: Để hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$, ta cần tính đạo hàm của hàm số và tìm giá trị của $m$ sao cho đạo hàm bằng 0 tại điểm đó. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2mx + 1) = 3x^2 - 2m $$ Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 tại $x = 1$: $$ y'(1) = 3(1)^2 - 2m = 0 $$ $$ 3 - 2m = 0 $$ Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của $m$: $$ 3 - 2m = 0 $$ $$ 2m = 3 $$ $$ m = \frac{3}{2} $$ Vậy, giá trị của $m$ để hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ là $m = \frac{3}{2}$. Đáp án đúng là: B. $m = \frac{3}{2}$ Câu 11: Để hàm số $y = x^3 - 3mx^2 - (5m + 7)x + 2$ đạt cực đại tại $x = -1$, ta cần tìm giá trị của $m$ sao cho $y'(-1) = 0$ và $y''(-1) < 0$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3mx^2 - (5m + 7)x + 2) = 3x^2 - 6mx - (5m + 7) $$ Bước 2: Thay $x = -1$ vào đạo hàm $y'$ và đặt nó bằng 0: $$ y'(-1) = 3(-1)^2 - 6m(-1) - (5m + 7) = 3 + 6m - 5m - 7 = m - 4 $$ $$ m - 4 = 0 $$ $$ m = 4 $$ Bước 3: Kiểm tra điều kiện cực đại bằng đạo hàm bậc hai: $$ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6mx - (5m + 7)) = 6x - 6m $$ Thay $x = -1$ vào đạo hàm bậc hai $y''$: $$ y''(-1) = 6(-1) - 6m = -6 - 6m $$ Để hàm số đạt cực đại tại $x = -1$, ta cần $y''(-1) < 0$: $$ -6 - 6m < 0 $$ $$ -6m < 6 $$ $$ m > -1 $$ Vì $m = 4$ thỏa mãn điều kiện $m > -1$, nên giá trị của $m$ là $m = 4$. Đáp án đúng là: B. $m = 4$ Câu 12: Để hàm số $y = f(x) = -x^3 + (2m-1)x^2 - (2-m)x - 2$ có cực đại và cực tiểu, ta cần tìm điều kiện của tham số $m$ sao cho đạo hàm của hàm số có hai nghiệm phân biệt. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = f'(x) = -3x^2 + 2(2m-1)x - (2-m) $$ Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: $$ -3x^2 + 2(2m-1)x - (2-m) = 0 $$ Bước 3: Để hàm số có cực đại và cực tiểu, phương trình đạo hàm bằng 0 phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này tương đương với việc phương trình bậc hai trên phải có biệt thức $ \Delta > 0 $. Tính biệt thức $ \Delta $: $$ \Delta = [2(2m-1)]^2 - 4(-3)(-(2-m)) $$ $$ \Delta = 4(2m-1)^2 - 12(2-m) $$ $$ \Delta = 4(4m^2 - 4m + 1) - 12(2 - m) $$ $$ \Delta = 16m^2 - 16m + 4 - 24 + 12m $$ $$ \Delta = 16m^2 - 4m - 20 $$ Để có hai nghiệm phân biệt, ta cần: $$ \Delta > 0 $$ $$ 16m^2 - 4m - 20 > 0 $$ Bước 4: Giải bất phương trình $ 16m^2 - 4m - 20 > 0 $: $$ 4m^2 - m - 5 > 0 $$ Tìm nghiệm của phương trình $ 4m^2 - m - 5 = 0 $: $$ m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5)}}{2 \cdot 4} $$ $$ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{8} $$ $$ m = \frac{1 \pm \sqrt{81}}{8} $$ $$ m = \frac{1 \pm 9}{8} $$ $$ m = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \quad \text{hoặc} \quad m = \frac{-8}{8} = -1 $$ Do đó, $ 4m^2 - m - 5 > 0 $ khi $ m < -1 $ hoặc $ m > \frac{5}{4} $. Vậy, điều kiện của $ m $ để hàm số có cực đại và cực tiểu là: $$ m \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{5}{4}, +\infty\right) $$ Đáp án đúng là: D. $ m \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{5}{4}, +\infty\right) $ Câu 13: Để tìm tất cả giá trị của tham số $ m $ sao cho đồ thị của hàm số $ y = x^4 + 2mx^2 + m^2 + m $ có ba điểm cực trị, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^4 + 2mx^2 + m^2 + m) = 4x^3 + 4mx $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: $$ y' = 4x^3 + 4mx = 0 $$ $$ 4x(x^2 + m) = 0 $$ Bước 3: Giải phương trình $ 4x(x^2 + m) = 0 $: $$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 + m = 0 $$ - Nếu $ x = 0 $, ta có một nghiệm. - Nếu $ x^2 + m = 0 $, ta có: $$ x^2 = -m $$ Để phương trình $ x^2 = -m $ có hai nghiệm thực, $ -m $ phải lớn hơn hoặc bằng 0, tức là: $$ -m > 0 $$ $$ m < 0 $$ Bước 4: Kết luận: - Khi $ m < 0 $, phương trình $ x^2 = -m $ có hai nghiệm thực khác nhau, do đó tổng cộng có ba điểm cực trị (gồm $ x = 0 $ và hai nghiệm từ $ x^2 = -m $). - Khi $ m \geq 0 $, phương trình $ x^2 = -m $ không có nghiệm thực hoặc chỉ có nghiệm kép $ x = 0 $, do đó không thỏa mãn điều kiện có ba điểm cực trị. Vậy, giá trị của tham số $ m $ để đồ thị của hàm số $ y = x^4 + 2mx^2 + m^2 + m $ có ba điểm cực trị là: $$ m < 0 $$ Đáp án đúng là: C. $ m < 0 $.