..............

Câu 1. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Lập luận từng bước: - Tam giác vuông có một góc vuông (90°). - Đường tròn ngoại tiếp của tam giác vuông sẽ có tâm nằm ở trung điểm của cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông). - Vì vậy, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Đáp án đúng là: C. trung điểm của cạnh huyền. Câu 2. Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác. Vậy đáp án đúng là B. Câu 3. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác. Để tìm điểm này, ta cần sử dụng các đường trung trực của tam giác. - Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó và đi qua trung điểm của nó. - Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên ba đường trung trực của tam giác, vì tâm này cách đều ba đỉnh của tam giác. Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của ba đường trung trực của tam giác. Đáp án đúng là: A. ba đường trung trực của tam giác. Câu 4. Để tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh 2 cm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác đều: Diện tích tam giác đều cạnh \( a \) được tính theo công thức: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Với \( a = 2 \): \[ S = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ cm}^2 \] 2. Tính chu vi tam giác đều: Chu vi tam giác đều cạnh \( a \) là: \[ P = 3a \] Với \( a = 2 \): \[ P = 3 \times 2 = 6 \text{ cm} \] 3. Tính bán kính đường tròn nội tiếp: Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều được tính theo công thức: \[ r = \frac{2S}{P} \] Thay \( S = \sqrt{3} \) và \( P = 6 \): \[ r = \frac{2 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \] Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh 2 cm là \( \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \). Đáp án đúng là: B. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ cm} \) Câu 5. Đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính là: C. $\frac{a}{2}$. Vì đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a có bán kính bằng nửa cạnh hình vuông. Câu 6. Để tìm độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định độ dài cạnh huyền BC của tam giác ABC: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, do đó cạnh huyền là BC. - Áp dụng định lý Pythagoras: \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\) - Thay các giá trị đã cho vào công thức: \(BC = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) cm 2. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: - Trong tam giác vuông, đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm của cạnh huyền. - Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa độ dài cạnh huyền. - Do đó, bán kính \(R = \frac{BC}{2} = \frac{13}{2} = 6,5\) cm Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 6,5 cm. Đáp án đúng là: D. 6,5 cm. Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta cần biết các kiến thức về hình học liên quan đến đường tròn và các đa giác nội tiếp. 1. Tìm cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn: - Đường kính của đường tròn là 8 (vì bán kính là 4). - Hình vuông nội tiếp đường tròn có đường chéo bằng đường kính của đường tròn. - Do đó, đường chéo của hình vuông là 8. - Ta có công thức tính đường chéo của hình vuông: \(d = a\sqrt{2}\), trong đó \(a\) là cạnh của hình vuông. - Suy ra: \(8 = a\sqrt{2}\) - Giải phương trình này ta được: \(a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}\). 2. Tìm cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn: - Tam giác đều nội tiếp đường tròn có cạnh bằng đường kính nhân với \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). - Do đó, cạnh của tam giác đều là: \(8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\). 3. Xác định vị trí của các điểm trên đường tròn: - Điểm C nằm trên đường tròn sao cho AC là cạnh của hình vuông và BC là cạnh của tam giác đều. - Vì AC và BC là các cạnh của các đa giác nội tiếp, nên góc giữa chúng sẽ phụ thuộc vào vị trí của các đỉnh của các đa giác này. 4. Tính số đo góc ACB: - Góc giữa hai dây cung AC và BC sẽ là góc giữa hai cạnh của hình vuông và tam giác đều. - Góc giữa hai dây cung này sẽ là góc giữa hai cạnh của hình vuông và tam giác đều, do đó góc ACB sẽ là: \[ \text{Góc ACB} = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ \] Vậy số đo góc ACB là \(15^\circ\). Đáp án đúng là: B. \(15^\circ\). Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta cần tính diện tích của tam giác đều nội tiếp đường tròn có bán kính 2m. Bước 1: Xác định độ dài cạnh của tam giác đều. - Tam giác đều nội tiếp đường tròn có tâm là tâm đường tròn và bán kính là 2m. - Độ dài cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn có công thức: \( a = R \sqrt{3} \) - Ở đây, \( R = 2 \)m, nên: \[ a = 2 \sqrt{3} \text{m} \] Bước 2: Tính diện tích của tam giác đều. - Công thức tính diện tích của tam giác đều là: \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \) - Thay \( a = 2 \sqrt{3} \) vào công thức: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (2 \sqrt{3})^2 \] \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 \times 3 \] \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 \] \[ S = 3 \sqrt{3} \text{m}^2 \] Vậy diện tích phần đất trồng hoa là \( 3 \sqrt{3} \text{m}^2 \). Đáp án đúng là: D. \( 3 \sqrt{3} \text{m}^2 \). Câu 9. Trước tiên, ta cần vẽ hình thang cân \(ABCD\) với \(AB // CD\) và ngoại tiếp đường tròn tâm \(O\) bán kính 3 cm. Ta cũng biết rằng \(\widehat{C} = 60^\circ\). Do \(ABCD\) là hình thang cân nên \(\widehat{A} = \widehat{B}\) và \(\widehat{C} = \widehat{D}\). Vì \(\widehat{C} = 60^\circ\), ta có \(\widehat{D} = 60^\circ\). Hình thang cân ngoại tiếp đường tròn có tổng hai góc kề một đáy bằng 180°, do đó: \[ \widehat{A} + \widehat{B} = 180^\circ \] Vì \(\widehat{A} = \widehat{B}\), ta có: \[ 2 \times \widehat{A} = 180^\circ \implies \widehat{A} = 90^\circ \] Tương tự, ta cũng có: \[ \widehat{B} = 90^\circ \] Vậy các góc của hình thang cân \(ABCD\) là: \[ \widehat{A} = 90^\circ, \quad \widehat{B} = 90^\circ, \quad \widehat{C} = 60^\circ, \quad \widehat{D} = 60^\circ \] Đáp số: \(\widehat{A} = 90^\circ, \quad \widehat{B} = 90^\circ, \quad \widehat{C} = 60^\circ, \quad \widehat{D} = 60^\circ\).