................

Câu 10. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình thang nội tiếp đường tròn và các kiến thức liên quan đến hình học. Hình thang ABCD có $\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ$, tức là nó là hình thang vuông. Vì hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn, nên tổng các cạnh đối của nó bằng nhau: \[ AB + CD = AD + BC \] Biết rằng đường kính của đường tròn là 6 cm (vì bán kính là 3 cm), ta có: \[ AD = 6 \text{ cm} \] Ta cũng biết rằng: \[ AB = 4 \text{ cm} \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phương án: A. $BC = 10 \text{ cm}$ - Ta có: $AB + CD = AD + BC$ - Thay các giá trị đã biết vào: $4 + CD = 6 + 10$ - Điều này dẫn đến: $CD = 12 \text{ cm}$ - Do đó, phương án A không đúng. B. $CD = 10 \text{ cm}$ - Ta có: $AB + CD = AD + BC$ - Thay các giá trị đã biết vào: $4 + 10 = 6 + BC$ - Điều này dẫn đến: $BC = 8 \text{ cm}$ - Do đó, phương án B không đúng. C. $AB + CD = AD + 2BC$ - Ta có: $AB + CD = AD + BC$ - Thay các giá trị đã biết vào: $4 + CD = 6 + BC$ - Điều này không đúng với bất kỳ giá trị nào của $BC$ và $CD$, do đó phương án C không đúng. D. $CD + AB = 21 \text{ cm}$ - Ta có: $AB + CD = AD + BC$ - Thay các giá trị đã biết vào: $4 + CD = 6 + BC$ - Điều này dẫn đến: $CD = 2 + BC$ - Để kiểm tra phương án D, ta cần tìm giá trị của $CD$ và $BC$. - Giả sử $BC = x$, thì $CD = 2 + x$. - Thay vào phương án D: $CD + AB = 21$ - Điều này dẫn đến: $(2 + x) + 4 = 21$ - Giải phương trình: $x + 6 = 21$ - Điều này dẫn đến: $x = 15$ - Vậy $BC = 15 \text{ cm}$ và $CD = 17 \text{ cm}$ Do đó, phương án D là đúng. Đáp án: D. $CD + AB = 21 \text{ cm}$. Bài 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ tính bán kính đường tròn nội tiếp (r) và bán kính đường tròn ngoại tiếp (R) của tam giác đều cạnh 6 cm, sau đó kiểm tra các phát biểu đã cho. Bước 1: Tính bán kính đường tròn nội tiếp (r) Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều cạnh \( a \) được tính theo công thức: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Áp dụng vào bài toán: \[ r = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3} \text{ cm} \] Bước 2: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp (R) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều cạnh \( a \) được tính theo công thức: \[ R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \] Áp dụng vào bài toán: \[ R = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} \text{ cm} \] Bước 3: Kiểm tra các phát biểu A. \( r = \sqrt{3} \text{ cm} \) - Đúng, vì chúng ta đã tính được \( r = \sqrt{3} \text{ cm} \). B. \( R = 2 \sqrt{3} \text{ cm} \) - Đúng, vì chúng ta đã tính được \( R = 2 \sqrt{3} \text{ cm} \). C. \( R - r = 3 \sqrt{3} \text{ cm} \) - Sai, vì \( R - r = 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3} \text{ cm} \). D. \( \frac{r}{R} = \frac{1}{2} \) - Đúng, vì \( \frac{r}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2} \). Kết luận - A: Đúng - B: Đúng - C: Sai - D: Đúng Đáp án: A (Đ), B (Đ), C (S), D (Đ). Bài 2: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ tính toán bán kính của đường tròn ngoại tiếp (R) và đường tròn nội tiếp (r) của hình vuông cạnh 6 cm, sau đó kiểm tra các phát biểu đã cho. 1. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp: - Đường tròn ngoại tiếp của hình vuông có đường kính bằng chéo của hình vuông. - Chéo của hình vuông cạnh 6 cm là: \[ 6\sqrt{2} \text{ cm} \] - Do đó, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp là: \[ R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ cm} \] 2. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp: - Đường tròn nội tiếp của hình vuông có đường kính bằng cạnh của hình vuông. - Do đó, bán kính r của đường tròn nội tiếp là: \[ r = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm} \] 3. Kiểm tra các phát biểu: - A. $R = 3\sqrt{2} \text{ cm}$: Đúng. - B. $r = 3 \text{ cm}$: Đúng. - C. $R + r = 6\sqrt{2} \text{ cm}$: \[ R + r = 3\sqrt{2} + 3 \text{ cm} \] Phát biểu này sai vì $3\sqrt{2} + 3 \neq 6\sqrt{2}$. - D. $\frac{R}{r} = \sqrt{2}$: \[ \frac{R}{r} = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} \] Phát biểu này đúng. Kết luận: - A. Đúng - B. Đúng - C. Sai - D. Đúng Đáp án: A. Đ, B. Đ, C. S, D. Đ Bài 3: A. Ta có: $AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5$. Ta có: $R_1=\frac{AB}{2.sinB}=\frac{2\sqrt5}{2.\frac{AH}{AB}}=\frac{2\sqrt5}{2.\frac{4}{2\sqrt5}}=5$. Vậy (S). B. Ta có: $AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt5$. Ta có: $BC=BH+CH=2+8=10$. Ta có: $R_2=\frac{AC}{2.sinC}=\frac{4\sqrt5}{2.\frac{AH}{AC}}=\frac{4\sqrt5}{2.\frac{4}{4\sqrt5}}=5$. Vậy (Đ). C. Ta có: $AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2$. Ta có: $R_3=\frac{AD}{2.sinD}=\frac{4\sqrt2}{2.\frac{AH}{AD}}=\frac{4\sqrt2}{2.\frac{4}{4\sqrt2}}=4$. Vậy (S). D. Ta có: $R_1.R_3=5\times 4=20$. Vậy (S). Câu 1. Độ dài cạnh huyền BC của tam giác ABC là: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm} \] Độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \[ R = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ cm} \] Đáp số: 2.5 cm Câu 2. Để tìm độ dài cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn $(I; \sqrt{3}~cm)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính đường tròn nội tiếp: Bán kính đường tròn nội tiếp là $\sqrt{3}~cm$. 2. Tính độ dài cạnh của tam giác đều: Trong tam giác đều ngoại tiếp đường tròn, bán kính đường tròn nội tiếp (r) liên quan đến độ dài cạnh (a) của tam giác đều theo công thức: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Thay giá trị của r vào công thức: \[ \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] 3. Giải phương trình để tìm a: Nhân cả hai vế với 6: \[ 6 \cdot \sqrt{3} = a \sqrt{3} \] Chia cả hai vế cho $\sqrt{3}$: \[ 6 = a \] Vậy độ dài cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn $(I; \sqrt{3}~cm)$ là 6 cm. Đáp số: 6 cm. Câu 3. Để tìm độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 3 cm), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính đường tròn: Bán kính của đường tròn là 3 cm. 2. Xác định mối liên hệ giữa đường chéo của hình vuông và bán kính đường tròn: Đường chéo của hình vuông nội tiếp đường tròn sẽ bằng đường kính của đường tròn. Do đó, đường chéo của hình vuông là: \[ 2 \times 3 = 6 \text{ cm} \] 3. Áp dụng công thức tính đường chéo của hình vuông: Đường chéo của hình vuông có công thức là: \[ d = a\sqrt{2} \] Trong đó, \(d\) là đường chéo và \(a\) là độ dài cạnh của hình vuông. 4. Tìm độ dài cạnh của hình vuông: Ta có: \[ a\sqrt{2} = 6 \] Giải phương trình này để tìm \(a\): \[ a = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \] 5. Làm tròn kết quả: Ta biết rằng \(\sqrt{2} \approx 1.414\). Do đó: \[ a \approx 3 \times 1.414 = 4.242 \] Làm tròn với độ chính xác 0.05, ta có: \[ a \approx 4.25 \text{ cm} \] Vậy độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn (O; 3 cm) là 4.25 cm.