Giải giúp tôi ra tự luận

Câu 1. Để giải phương trình $\log_{25}(x+1)=\frac12$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Đối với phương trình logarit, đối số phải dương: \[ x + 1 > 0 \] \[ x > -1 \] Bước 2: Giải phương trình logarit - Ta có phương trình $\log_{25}(x+1)=\frac12$. Điều này có nghĩa là: \[ 25^{\frac12} = x + 1 \] - Ta biết rằng $25 = 5^2$, do đó: \[ 25^{\frac12} = (5^2)^{\frac12} = 5 \] - Vậy phương trình trở thành: \[ 5 = x + 1 \] - Giải ra ta được: \[ x = 5 - 1 \] \[ x = 4 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định - Ta đã có ĐKXĐ là $x > -1$. Thử lại giá trị $x = 4$: \[ 4 > -1 \] - Điều kiện này thoả mãn. Vậy nghiệm của phương trình là $x = 4$. Đáp số: $x = 4$. Câu 2. Để giải phương trình $4^{2x+1} = 64$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số: $4^{2x+1} = 64$ $4^{2x+1} = 4^3$ Bước 2: So sánh các mũ của hai vế: $2x + 1 = 3$ Bước 3: Giải phương trình bậc nhất: $2x + 1 = 3$ $2x = 3 - 1$ $2x = 2$ $x = \frac{2}{2}$ $x = 1$ Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$. Câu 3. Điều kiện: \(x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3\). Bất phương trình đã cho tương đương với: \[ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) - \log_{\frac{1}{2}}4 \geq 0 \] \[ \log_{\frac{1}{2}}(x-3) \geq \log_{\frac{1}{2}}4 \] Vì cơ số của lôgarit là \(\frac{1}{2}\) (nhỏ hơn 1), nên khi so sánh hai lôgarit, ta có: \[ x - 3 \leq 4 \] \[ x \leq 7 \] Kết hợp điều kiện \(x > 3\) và \(x \leq 7\), ta có: \[ 3 < x \leq 7 \] Các giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn điều kiện trên là: \(x = 4, 5, 6, 7\). Vậy số nghiệm nguyên của bất phương trình là 4 nghiệm. Đáp số: 4 nghiệm. Câu 4. Để tìm thời gian mà số lượng vi khuẩn E. Coli đạt đến 671 088 640 con, ta sẽ áp dụng công thức đã cho: \[ S = S_0 \cdot 2^n \] Trong đó: - \( S \) là số lượng vi khuẩn cuối cùng. - \( S_0 \) là số lượng vi khuẩn ban đầu. - \( n \) là số lần nhân đôi. Ban đầu, số lượng vi khuẩn là 40 con, tức là \( S_0 = 40 \). Ta cần tìm \( n \) sao cho: \[ 671 088 640 = 40 \cdot 2^n \] Chia cả hai vế cho 40 để đơn giản hóa: \[ \frac{671 088 640}{40} = 2^n \] \[ 16 777 216 = 2^n \] Bây giờ, ta cần tìm \( n \) sao cho \( 2^n = 16 777 216 \). Ta nhận thấy rằng: \[ 16 777 216 = 2^{24} \] Do đó: \[ n = 24 \] Mỗi lần nhân đôi mất 20 phút, vậy tổng thời gian là: \[ 24 \times 20 = 480 \text{ phút} \] Vậy sau 480 phút, số lượng vi khuẩn sẽ là 671 088 640 con. Đáp số: 480 phút. Câu 1. Điều kiện xác định: $x > 0$ và $x - 1 > 0$, suy ra $x > 1$. Phương trình đã cho tương đương với: \[ \log_2(x(x-1)) = 1 \] \[ \log_2(x^2 - x) = 1 \] Đổi về dạng指数形式，我们得到： \[ x^2 - x = 2^1 \] \[ x^2 - x = 2 \] 将方程整理为标准形式： \[ x^2 - x - 2 = 0 \] 这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来解它。二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根由公式给出： \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] 在这里，$a = 1$，$b = -1$，$c = -2$。代入求根公式，我们得到： \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \] 这给出了两个解： \[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] 根据条件 $x > 1$，只有 $x = 2$ 是有效的解。 因此，原方程只有一个解，即 $x = 2$。 答案：方程有1个解。 Câu 2. Để giải bất phương trình $(\frac{1}{2})^{-x^2 + 3x} < \frac{1}{4}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Bất phương trình này không yêu cầu điều kiện xác định riêng biệt vì nó chỉ liên quan đến lũy thừa và số thực. Bước 2: Chuyển đổi bất phương trình về dạng dễ dàng hơn để giải - Ta nhận thấy rằng $\frac{1}{4}$ có thể viết lại dưới dạng lũy thừa cơ sở $\frac{1}{2}$: \[ \frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2 \] - Do đó, bất phương trình trở thành: \[ (\frac{1}{2})^{-x^2 + 3x} < (\frac{1}{2})^2 \] Bước 3: So sánh các lũy thừa cùng cơ sở - Vì cơ sở là $\frac{1}{2}$ (một số nhỏ hơn 1), nên khi lũy thừa của nó giảm thì giá trị của lũy thừa sẽ tăng. Do đó, ta có: \[ -x^2 + 3x > 2 \] Bước 4: Giải bất phương trình bậc hai - Ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ -x^2 + 3x - 2 > 0 \] - Nhân cả hai vế với -1 để chuyển đổi bất phương trình: \[ x^2 - 3x + 2 < 0 \] - Tìm nghiệm của phương trình bậc hai tương ứng: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Ta giải phương trình này bằng cách phân tích thành nhân tử: \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 5: Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình - Ta vẽ sơ đồ số thực và đánh dấu các điểm x = 1 và x = 2 trên số thực. Sau đó, kiểm tra các khoảng giữa các điểm này: - Khi x < 1, chọn x = 0: $(0 - 1)(0 - 2) = 2 > 0$ - Khi 1 < x < 2, chọn x = 1.5: $(1.5 - 1)(1.5 - 2) = -0.25 < 0$ - Khi x > 2, chọn x = 3: $(3 - 1)(3 - 2) = 2 > 0$ Do đó, bất phương trình $x^2 - 3x + 2 < 0$ đúng trong khoảng: \[ 1 < x < 2 \] Bước 6: Kết luận tập nghiệm S - Tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (1, 2) \] Đáp số: $S = (1, 2)$ Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số đã biết: - Số lượng vi khuẩn ban đầu: \( A = 1000 \) - Sau 5 giờ, số lượng vi khuẩn là 3000. 2. Áp dụng công thức tăng trưởng \( S = A \cdot e^{rt} \): - Thay vào các giá trị đã biết: \( 3000 = 1000 \cdot e^{5r} \) 3. Giải phương trình để tìm \( r \): \[ 3000 = 1000 \cdot e^{5r} \] \[ 3 = e^{5r} \] \[ \ln(3) = 5r \] \[ r = \frac{\ln(3)}{5} \] 4. Tìm thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi: - Số lượng vi khuẩn tăng gấp đôi tức là \( S = 2A = 2000 \) - Áp dụng công thức tăng trưởng: \( 2000 = 1000 \cdot e^{rt} \) \[ 2 = e^{rt} \] \[ \ln(2) = rt \] \[ t = \frac{\ln(2)}{r} \] \[ t = \frac{\ln(2)}{\frac{\ln(3)}{5}} \] \[ t = \frac{5 \cdot \ln(2)}{\ln(3)} \] 5. Tính giá trị của \( t \): \[ t \approx \frac{5 \cdot 0.6931}{1.0986} \approx 3.15 \text{ giờ} \] 6. Chuyển đổi thời gian từ giờ sang phút: \[ t \approx 3.15 \times 60 \approx 189 \text{ phút} \] Vậy sau khoảng 189 phút, số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi.