giup minh vs a

Câu 17. Để tính đường chéo của hình lập phương có cạnh bằng $\sqrt{3}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính chiều dài đường chéo mặt của hình lập phương: - Đường chéo của một hình vuông (mặt của hình lập phương) có công thức là $d = a\sqrt{2}$, trong đó $a$ là độ dài cạnh của hình vuông. - Với cạnh $a = \sqrt{3}$, ta có: \[ d = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6} \] 2. Tính chiều dài đường chéo của hình lập phương: - Đường chéo của hình lập phương có công thức là $D = a\sqrt{3}$, trong đó $a$ là độ dài cạnh của hình lập phương. - Với cạnh $a = \sqrt{3}$, ta có: \[ D = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \] Vậy đường chéo của hình lập phương có cạnh bằng $\sqrt{3}$ là 3. Đáp số: 3 Câu 18. Để tính thể tích của khối chóp cụt đều $ABCD.A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$, ta sử dụng công thức thể tích của khối chóp cụt: \[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \] Trong đó: - \( h \) là khoảng cách giữa hai đáy. - \( S_1 \) là diện tích đáy dưới. - \( S_2 \) là diện tích đáy trên. Bước 1: Tính diện tích đáy dưới \( S_1 \) Đáy dưới là hình vuông có cạnh bằng 2, nên diện tích là: \[ S_1 = 2^2 = 4 \] Bước 2: Tính diện tích đáy trên \( S_2 \) Đáy trên là hình vuông có cạnh bằng 3, nên diện tích là: \[ S_2 = 3^2 = 9 \] Bước 3: Thay các giá trị vào công thức thể tích \[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (4 + 9 + \sqrt{4 \times 9}) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (4 + 9 + \sqrt{36}) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (4 + 9 + 6) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times 19 \] \[ V = 19 \] Vậy thể tích của khối chóp cụt đều là 19. Câu 19. Để giải phương trình $\log_3(x+1)=\log_3(x^2-1)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình $\log_3(x+1)=\log_3(x^2-1)$ có nghĩa là: \[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad x^2 - 1 > 0 \] Từ $x + 1 > 0$, ta có: \[ x > -1 \] Từ $x^2 - 1 > 0$, ta có: \[ (x - 1)(x + 1) > 0 \] \[ x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x > 1 \] Kết hợp hai điều kiện trên, ta có: \[ x > 1 \] Bước 2: Giải phương trình Do $\log_3(x+1)=\log_3(x^2-1)$, suy ra: \[ x + 1 = x^2 - 1 \] Rearrange the equation: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai Ta giải phương trình bậc hai $x^2 - x - 2 = 0$ bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = -1$, và $c = -2$. Thay vào công thức: \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \] Vậy ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định Chúng ta đã xác định điều kiện $x > 1$. Do đó, nghiệm $x = -1$ bị loại vì không thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là: \[ x = 2 \] Kết luận: Nghiệm của phương trình $\log_3(x+1)=\log_3(x^2-1)$ là $x = 2$. Câu 20. Để tính khoảng cách giữa đường thẳng BD và SC trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hệ tọa độ: - Chọn gốc tọa độ tại A, trục Ox đi qua B, trục Oy đi qua D, trục Oz đi qua S. - Các đỉnh của hình chóp có tọa độ: - A(0, 0, 0) - B(2, 0, 0) - C(2, 2, 0) - D(0, 2, 0) - S(0, 0, 2√2) 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SCD): - Vectơ CD = (-2, 0, 0) - Vectơ CS = (-2, -2, 2√2) - Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (SCD) là tích vector của CD và CS: \[ n = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -2 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 2\sqrt{2} \end{vmatrix} = (0, 4\sqrt{2}, 4) \] 3. Phương trình mặt phẳng (SCD): - Mặt phẳng (SCD) có vectơ pháp tuyến n = (0, 4√2, 4). - Phương trình mặt phẳng (SCD) đi qua điểm C(2, 2, 0): \[ 0(x - 2) + 4\sqrt{2}(y - 2) + 4(z - 0) = 0 \] \[ 4\sqrt{2}y + 4z - 8\sqrt{2} = 0 \] \[ \sqrt{2}y + z - 2\sqrt{2} = 0 \] 4. Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD): - Khoảng cách từ điểm B(2, 0, 0) đến mặt phẳng (SCD) được tính bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: \[ d(B, (SCD)) = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] - Với a = 0, b = √2, c = 1, d = -2√2 và điểm B(2, 0, 0): \[ d(B, (SCD)) = \frac{|0 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2\sqrt{2}|}{\sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2}} = \frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2 + 1}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \] 5. Kết luận: - Khoảng cách giữa đường thẳng BD và SC là \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\). Đáp số: \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\) Câu 21. Gọi hai bìa của cuốn sách là mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$, gáy của cuốn sách là đường thẳng $d$. Mặt bàn là mặt phẳng $(Oxy)$. Theo đề bài, ta có $(P) \perp (Oxy)$ và $(Q) \perp (Oxy)$. Ta cần chứng minh rằng đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. - Giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là đường thẳng $d$, tức là gáy của cuốn sách. Bước 2: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Oxy)$. - Giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Oxy)$ là đường thẳng $a$. Bước 3: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(Q)$ và $(Oxy)$. - Giao tuyến của hai mặt phẳng $(Q)$ và $(Oxy)$ là đường thẳng $b$. Bước 4: Xác định vị trí của đường thẳng $d$ trong mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. - Đường thẳng $d$ nằm trong cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Bước 5: Xác định vị trí của đường thẳng $d$ so với mặt phẳng $(Oxy)$. - Vì $(P) \perp (Oxy)$ và $(Q) \perp (Oxy)$, nên đường thẳng $d$ vuông góc với cả hai đường thẳng $a$ và $b$. Bước 6: Kết luận. - Đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, do đó đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$. Vậy gáy của cuốn sách vuông góc với mặt bàn. Đáp số: Gáy của cuốn sách vuông góc với mặt bàn.