Câu 17.
Để tính đường chéo của hình lập phương có cạnh bằng $\sqrt{3}$, ta thực hiện các bước sau:
1. Tính chiều dài đường chéo mặt của hình lập phương:
- Đường chéo của một hình vuông (mặt của hình lập phương) có công thức là $d = a\sqrt{2}$, trong đó $a$ là độ dài cạnh của hình vuông.
- Với cạnh $a = \sqrt{3}$, ta có:
\[
d = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{6}
\]
2. Tính chiều dài đường chéo của hình lập phương:
- Đường chéo của hình lập phương có công thức là $D = a\sqrt{3}$, trong đó $a$ là độ dài cạnh của hình lập phương.
- Với cạnh $a = \sqrt{3}$, ta có:
\[
D = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3
\]
Vậy đường chéo của hình lập phương có cạnh bằng $\sqrt{3}$ là 3.
Đáp số: 3
Câu 18.
Để tính thể tích của khối chóp cụt đều $ABCD.A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$, ta sử dụng công thức thể tích của khối chóp cụt:
\[ V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \]
Trong đó:
- \( h \) là khoảng cách giữa hai đáy.
- \( S_1 \) là diện tích đáy dưới.
- \( S_2 \) là diện tích đáy trên.
Bước 1: Tính diện tích đáy dưới \( S_1 \)
Đáy dưới là hình vuông có cạnh bằng 2, nên diện tích là:
\[ S_1 = 2^2 = 4 \]
Bước 2: Tính diện tích đáy trên \( S_2 \)
Đáy trên là hình vuông có cạnh bằng 3, nên diện tích là:
\[ S_2 = 3^2 = 9 \]
Bước 3: Thay các giá trị vào công thức thể tích
\[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (4 + 9 + \sqrt{4 \times 9}) \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (4 + 9 + \sqrt{36}) \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (4 + 9 + 6) \]
\[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times 19 \]
\[ V = 19 \]
Vậy thể tích của khối chóp cụt đều là 19.
Câu 19.
Để giải phương trình $\log_3(x+1)=\log_3(x^2-1)$, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Phương trình $\log_3(x+1)=\log_3(x^2-1)$ có nghĩa là:
\[ x + 1 > 0 \quad \text{và} \quad x^2 - 1 > 0 \]
Từ $x + 1 > 0$, ta có:
\[ x > -1 \]
Từ $x^2 - 1 > 0$, ta có:
\[ (x - 1)(x + 1) > 0 \]
\[ x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x > 1 \]
Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:
\[ x > 1 \]
Bước 2: Giải phương trình
Do $\log_3(x+1)=\log_3(x^2-1)$, suy ra:
\[ x + 1 = x^2 - 1 \]
Rearrange the equation:
\[ x^2 - x - 2 = 0 \]
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai
Ta giải phương trình bậc hai $x^2 - x - 2 = 0$ bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Ở đây, $a = 1$, $b = -1$, và $c = -2$. Thay vào công thức:
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \]
\[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Vậy ta có hai nghiệm:
\[ x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]
\[ x = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]
Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định
Chúng ta đã xác định điều kiện $x > 1$. Do đó, nghiệm $x = -1$ bị loại vì không thỏa mãn điều kiện.
Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là:
\[ x = 2 \]
Kết luận:
Nghiệm của phương trình $\log_3(x+1)=\log_3(x^2-1)$ là $x = 2$.
Câu 20.
Để tính khoảng cách giữa đường thẳng BD và SC trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định hệ tọa độ:
- Chọn gốc tọa độ tại A, trục Ox đi qua B, trục Oy đi qua D, trục Oz đi qua S.
- Các đỉnh của hình chóp có tọa độ:
- A(0, 0, 0)
- B(2, 0, 0)
- C(2, 2, 0)
- D(0, 2, 0)
- S(0, 0, 2√2)
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SCD):
- Vectơ CD = (-2, 0, 0)
- Vectơ CS = (-2, -2, 2√2)
- Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (SCD) là tích vector của CD và CS:
\[ n = \begin{vmatrix}
i & j & k \\
-2 & 0 & 0 \\
-2 & -2 & 2\sqrt{2}
\end{vmatrix} = (0, 4\sqrt{2}, 4) \]
3. Phương trình mặt phẳng (SCD):
- Mặt phẳng (SCD) có vectơ pháp tuyến n = (0, 4√2, 4).
- Phương trình mặt phẳng (SCD) đi qua điểm C(2, 2, 0):
\[ 0(x - 2) + 4\sqrt{2}(y - 2) + 4(z - 0) = 0 \]
\[ 4\sqrt{2}y + 4z - 8\sqrt{2} = 0 \]
\[ \sqrt{2}y + z - 2\sqrt{2} = 0 \]
4. Tìm khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD):
- Khoảng cách từ điểm B(2, 0, 0) đến mặt phẳng (SCD) được tính bằng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
\[ d(B, (SCD)) = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]
- Với a = 0, b = √2, c = 1, d = -2√2 và điểm B(2, 0, 0):
\[ d(B, (SCD)) = \frac{|0 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2\sqrt{2}|}{\sqrt{0^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2}} = \frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2 + 1}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \]
5. Kết luận:
- Khoảng cách giữa đường thẳng BD và SC là \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\).
Đáp số: \(\frac{2\sqrt{6}}{3}\)
Câu 21.
Gọi hai bìa của cuốn sách là mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$, gáy của cuốn sách là đường thẳng $d$. Mặt bàn là mặt phẳng $(Oxy)$.
Theo đề bài, ta có $(P) \perp (Oxy)$ và $(Q) \perp (Oxy)$.
Ta cần chứng minh rằng đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$.
Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là đường thẳng $d$, tức là gáy của cuốn sách.
Bước 2: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Oxy)$.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Oxy)$ là đường thẳng $a$.
Bước 3: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(Q)$ và $(Oxy)$.
- Giao tuyến của hai mặt phẳng $(Q)$ và $(Oxy)$ là đường thẳng $b$.
Bước 4: Xác định vị trí của đường thẳng $d$ trong mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
- Đường thẳng $d$ nằm trong cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
Bước 5: Xác định vị trí của đường thẳng $d$ so với mặt phẳng $(Oxy)$.
- Vì $(P) \perp (Oxy)$ và $(Q) \perp (Oxy)$, nên đường thẳng $d$ vuông góc với cả hai đường thẳng $a$ và $b$.
Bước 6: Kết luận.
- Đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$, do đó đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$.
Vậy gáy của cuốn sách vuông góc với mặt bàn.
Đáp số: Gáy của cuốn sách vuông góc với mặt bàn.