Bài 5 (1 điểm): Cho phương trình bậc hai x2 + (m + 2)x + 2m = 0 a) Biết phương trình có một nghiệm x = 3. Tìm nghiệm còn lại. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 2x1 + 3x2 = 1

Bài 5 a) Thay x = 3 vào phương trình đã cho ta có: \[ 3^2 + (m + 2) \cdot 3 + 2m = 0 \] \[ 9 + 3m + 6 + 2m = 0 \] \[ 5m + 15 = 0 \] \[ 5m = -15 \] \[ m = -3 \] Thay m = -3 vào phương trình ban đầu ta có: \[ x^2 + (-3 + 2)x + 2(-3) = 0 \] \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Phương trình này có dạng \( x^2 - x - 6 = 0 \). Ta tìm nghiệm của phương trình này bằng cách phân tích thành nhân tử: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -2 \] Nghiệm còn lại là \( x = -2 \). b) Áp dụng hệ thức Viète cho phương trình \( x^2 + (m + 2)x + 2m = 0 \): \[ x_1 + x_2 = -(m + 2) \] \[ x_1 \cdot x_2 = 2m \] Theo đề bài, ta có: \[ 2x_1 + 3x_2 = 1 \] Ta sẽ giải hệ phương trình: \[ x_1 + x_2 = -(m + 2) \] \[ 2x_1 + 3x_2 = 1 \] Nhân phương trình thứ nhất với 2: \[ 2x_1 + 2x_2 = -2(m + 2) \] Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình này: \[ (2x_1 + 3x_2) - (2x_1 + 2x_2) = 1 - [-2(m + 2)] \] \[ x_2 = 1 + 2(m + 2) \] \[ x_2 = 1 + 2m + 4 \] \[ x_2 = 2m + 5 \] Thay \( x_2 = 2m + 5 \) vào phương trình \( x_1 + x_2 = -(m + 2) \): \[ x_1 + (2m + 5) = -(m + 2) \] \[ x_1 = -(m + 2) - (2m + 5) \] \[ x_1 = -m - 2 - 2m - 5 \] \[ x_1 = -3m - 7 \] Áp dụng hệ thức Viète \( x_1 \cdot x_2 = 2m \): \[ (-3m - 7) \cdot (2m + 5) = 2m \] \[ -6m^2 - 15m - 14m - 35 = 2m \] \[ -6m^2 - 29m - 35 = 2m \] \[ -6m^2 - 31m - 35 = 0 \] Chia cả hai vế cho -1: \[ 6m^2 + 31m + 35 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ m = \frac{-31 \pm \sqrt{31^2 - 4 \cdot 6 \cdot 35}}{2 \cdot 6} \] \[ m = \frac{-31 \pm \sqrt{961 - 840}}{12} \] \[ m = \frac{-31 \pm \sqrt{121}}{12} \] \[ m = \frac{-31 \pm 11}{12} \] Vậy: \[ m = \frac{-31 + 11}{12} = \frac{-20}{12} = -\frac{5}{3} \] \[ m = \frac{-31 - 11}{12} = \frac{-42}{12} = -\frac{7}{2} \] Đáp số: a) Nghiệm còn lại là \( x = -2 \) b) \( m = -\frac{5}{3} \) hoặc \( m = -\frac{7}{2} \)