Giải ạ kkmm

Câu 59. a) Ta thấy $\frac{1}{3}\ne \frac{2}{-1}$. Vậy hai véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ không cùng phương. Mệnh đề sai. b) Ta có $[\overrightarrow a,\overrightarrow b]=(1;3;7)$ Vậy $[\overrightarrow a,\overrightarrow b].\overrightarrow c=1\times 1+3\times (-5)+7\times 2=0$. Mệnh đề đúng. c) Vì hai véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ không cùng phương nên mệnh đề đúng. d) Ta có $\overrightarrow a.\overrightarrow b=1\times 3+2\times (-1)+(-1)\times 0=1\ne 0$. Vậy hai véctơ $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ không vuông góc. Mệnh đề sai. Câu 60. a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(2;3;1).$ Đúng vì mặt phẳng (P) có phương trình: $2x+3y+z-2024=0$ nên vectơ pháp tuyến của nó là $\overrightarrow n=(2;3;1).$ b) Mặt phẳng (Oz) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(6;9;3).$ Đúng vì mặt phẳng (Oz) có phương trình: $x=0$ nên vectơ pháp tuyến của nó là $\overrightarrow n=(1;0;0).$ Mà $\overrightarrow n=(6;9;3)=6(1;0;0)$ nên $\overrightarrow n=(6;9;3)$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oz). c) Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n=(-4;-6;-2).$ Sai vì mặt phẳng (Oyz) có phương trình: $x=0$ nên vectơ pháp tuyến của nó là $\overrightarrow n=(1;0;0).$ Mà $\overrightarrow n=(-4;-6;-2)\neq k(1;0;0)$ với mọi $k\in R$ nên $\overrightarrow n=(-4;-6;-2)$ không là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz). d) Điểm M (0;0; 2024) không thuộc mặt phẳng (P). Sai vì thay tọa độ điểm M (0;0; 2024) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: $2\times 0+3\times 0+2024-2024=0$ nên điểm M (0;0; 2024) thuộc mặt phẳng (P). Câu 61. Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng (P) hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình của mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. a) Thay tọa độ của điểm M(-1, -1, -1) vào phương trình mặt phẳng (P): \[ (-1) + (-1) + (-1) - 3 = -3 - 3 = -6 \neq 0 \] Vậy điểm M không thuộc mặt phẳng (P). b) Thay tọa độ của điểm N(1, 1, 1) vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 1 + 1 + 1 - 3 = 3 - 3 = 0 \] Vậy điểm N thuộc mặt phẳng (P). c) Thay tọa độ của điểm K(-3, 0, 0) vào phương trình mặt phẳng (P): \[ (-3) + 0 + 0 - 3 = -3 - 3 = -6 \neq 0 \] Vậy điểm K không thuộc mặt phẳng (P). d) Thay tọa độ của điểm Q(0, 0, -3) vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 0 + 0 + (-3) - 3 = -3 - 3 = -6 \neq 0 \] Vậy điểm Q không thuộc mặt phẳng (P). Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Sai Câu 62. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính khoảng cách từ điểm \( M(1;2;0) \) đến các mặt phẳng \( (Oxy) \), \( (Oyz) \), và \( (Oxz) \). a) Khoảng cách từ điểm \( M(1;2;0) \) đến mặt phẳng \( (Oxy) \): - Mặt phẳng \( (Oxy) \) có phương trình là \( z = 0 \). - Khoảng cách từ điểm \( M(1;2;0) \) đến mặt phẳng \( z = 0 \) là giá trị của tọa độ \( z \) của điểm \( M \), tức là \( |0| = 0 \). Do đó, mệnh đề a) \( d(M, (Oxy)) = 2 \) là sai. b) Khoảng cách từ điểm \( M(1;2;0) \) đến mặt phẳng \( (Oyz) \): - Mặt phẳng \( (Oyz) \) có phương trình là \( x = 0 \). - Khoảng cách từ điểm \( M(1;2;0) \) đến mặt phẳng \( x = 0 \) là giá trị của tọa độ \( x \) của điểm \( M \), tức là \( |1| = 1 \). Do đó, mệnh đề b) \( d(M, (Oyz)) = 1 \) là đúng. c) Khoảng cách từ điểm \( M(1;2;0) \) đến mặt phẳng \( (Oxz) \): - Mặt phẳng \( (Oxz) \) có phương trình là \( y = 0 \). - Khoảng cách từ điểm \( M(1;2;0) \) đến mặt phẳng \( y = 0 \) là giá trị của tọa độ \( y \) của điểm \( M \), tức là \( |2| = 2 \). Do đó, mệnh đề c) \( d(M, (Oxz)) = 1 \) là sai. d) So sánh khoảng cách từ điểm \( M(1;2;0) \) đến các mặt phẳng \( (Oxz) \) và \( (Oyz) \): - Ta đã tính được \( d(M, (Oyz)) = 1 \) và \( d(M, (Oxz)) = 2 \). Do đó, \( d(M, (Oxz)) > d(M, (Oyz)) \). Do đó, mệnh đề d) \( d(M, (Oxz)) > d(M, (Oyz)) \) là đúng. Tóm lại: - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 63. Để kiểm tra xem các phương trình mặt phẳng đã cho có thỏa mãn điều kiện khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (Q) bằng 1 hay không, ta sẽ sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Công thức này là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, \((x_0, y_0, z_0)\) là tọa độ của điểm O (0, 0, 0), và \(ax + by + cz + d = 0\) là phương trình mặt phẳng. a) Mặt phẳng (Q) có phương trình là: \(x + y + z - 3 = 0\) Áp dụng công thức: \[ d = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \neq 1 \] Vậy phương án a) sai. b) Mặt phẳng (Q) có phương trình là: \(2x + y + 2z - 3 = 0\) Áp dụng công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|-3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{3}{\sqrt{9}} = 1 \] Vậy phương án b) đúng. c) Mặt phẳng (Q) có phương trình là: \(2x + y - 2z + 6 = 0\) Áp dụng công thức: \[ d = \frac{|2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{6}{\sqrt{9}} = 2 \neq 1 \] Vậy phương án c) sai. d) Mặt phẳng (Q) có phương trình là: \(x + y + z - 3 = 0\) Đã kiểm tra ở phần a), phương án này sai. Kết luận: - Phương án a) sai. - Phương án b) đúng. - Phương án c) sai. - Phương án d) sai. Câu 64. Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Kiểm tra tính song song của hai mặt phẳng (P) và (Q) Hai mặt phẳng song song nếu các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong phương trình của chúng tỷ lệ với nhau. Phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ x + 2y - 2z - 6 = 0 \] Phương trình của mặt phẳng (Q) là: \[ x + 2y - 2z + 3 = 0 \] Ta thấy rằng các hệ số của \(x\), \(y\), và \(z\) trong cả hai phương trình đều giống nhau, tức là: \[ \frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{-2}{-2} = 1 \] Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Mệnh đề a) là đúng. Bước 2: Kiểm tra tính vuông góc của hai mặt phẳng (P) và (Q) Hai mặt phẳng vuông góc nếu tích vô hướng của các vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \[ \vec{n}_P = (1, 2, -2) \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) cũng là: \[ \vec{n}_Q = (1, 2, -2) \] Tích vô hướng của \(\vec{n}_P\) và \(\vec{n}_Q\) là: \[ \vec{n}_P \cdot \vec{n}_Q = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2) = 1 + 4 + 4 = 9 \neq 0 \] Do đó, hai mặt phẳng (P) và (Q) không vuông góc với nhau. Mệnh đề b) là sai. Bước 3: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|d_2 - d_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] trong đó \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\) và \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\) là phương trình của hai mặt phẳng. Ở đây, \(A = 1\), \(B = 2\), \(C = -2\), \(D_1 = -6\), và \(D_2 = 3\). Khoảng cách \(d\) là: \[ d = \frac{|3 - (-6)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 + 6|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{9}{\sqrt{9}} = \frac{9}{3} = 3 \] Do đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 3. Mệnh đề c) là sai và mệnh đề d) là đúng. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng