giúp mình với ạ cảm ơn nhé

Câu 29. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \( d \) và \( d' \), ta cần kiểm tra xem chúng có cùng phương hay không và nếu không thì chúng có cắt nhau hay không. 1. Kiểm tra phương của hai đường thẳng: - Đường thẳng \( d \) có vectơ chỉ phương là \( \vec{u} = (12, 6, 3) \). - Đường thẳng \( d' \) có vectơ chỉ phương là \( \vec{v} = (8, 4, 2) \). Ta thấy rằng: \[ \vec{u} = 1.5 \cdot \vec{v} \] Do đó, hai vectơ chỉ phương này là bội của nhau, tức là hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) có cùng phương. 2. Kiểm tra xem hai đường thẳng có trùng nhau hay không: - Ta chọn điểm \( A(-1, 2, 3) \) thuộc đường thẳng \( d \). - Ta kiểm tra xem điểm \( A \) có thuộc đường thẳng \( d' \) hay không bằng cách thay tọa độ của \( A \) vào phương trình của \( d' \): \[ \left\{ \begin{array}{l} -1 = 7 + 8t \\ 2 = 6 + 4t \\ 3 = 5 + 2t \end{array} \right. \] Giải từng phương trình: - Từ phương trình thứ nhất: \[ -1 = 7 + 8t \implies 8t = -8 \implies t = -1 \] - Từ phương trình thứ hai: \[ 2 = 6 + 4t \implies 4t = -4 \implies t = -1 \] - Từ phương trình thứ ba: \[ 3 = 5 + 2t \implies 2t = -2 \implies t = -1 \] Ta thấy rằng tất cả các phương trình đều cho \( t = -1 \). Do đó, điểm \( A(-1, 2, 3) \) thuộc đường thẳng \( d' \). Vì hai đường thẳng có cùng phương và có một điểm chung, nên hai đường thẳng trùng nhau. Đáp án: A. Trùng nhau. Câu 30. Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) trong không gian, ta cần kiểm tra các điều kiện về song song, chéo nhau hoặc cắt nhau. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng - Đường thẳng \( d \) có phương trình: \[ \frac{x-1}{-2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-4}{3} \] Vectơ chỉ phương của \( d \) là: \[ \vec{u} = (-2, 1, 3) \] - Đường thẳng \( d' \) có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = -t \\ z = -2 + 3t \end{array} \right. \] Vectơ chỉ phương của \( d' \) là: \[ \vec{v} = (1, -1, 3) \] Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng cùng phương, tức là tồn tại số thực \( k \) sao cho: \[ \vec{u} = k \cdot \vec{v} \] Ta có: \[ (-2, 1, 3) = k \cdot (1, -1, 3) \] Từ đây ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} -2 = k \\ 1 = -k \\ 3 = 3k \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: - Từ \( -2 = k \) ta có \( k = -2 \) - Từ \( 1 = -k \) ta có \( k = -1 \) - Từ \( 3 = 3k \) ta có \( k = 1 \) Như vậy, không tồn tại số thực \( k \) thỏa mãn cả ba phương trình trên. Do đó, hai vectơ chỉ phương không cùng phương, suy ra hai đường thẳng không song song. Bước 3: Kiểm tra điều kiện cắt nhau Hai đường thẳng cắt nhau nếu tồn tại điểm chung giữa chúng. Ta sẽ tìm xem có điểm nào thỏa mãn cả hai phương trình của \( d \) và \( d' \). Gọi tọa độ chung của hai đường thẳng là \( (x, y, z) \). Ta có: \[ \frac{x-1}{-2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-4}{3} = t \] \[ x = -1 + t', \quad y = -t', \quad z = -2 + 3t' \] Từ phương trình của \( d \): \[ x = 1 - 2t, \quad y = -2 + t, \quad z = 4 + 3t \] Bây giờ, ta đặt \( x, y, z \) từ cả hai phương trình bằng nhau: \[ 1 - 2t = -1 + t' \\ -2 + t = -t' \\ 4 + 3t = -2 + 3t' \] Giải hệ phương trình này: - Từ \( 1 - 2t = -1 + t' \) ta có \( t' = 2 - 2t \) - Từ \( -2 + t = -t' \) ta có \( t' = 2 - t \) - Từ \( 4 + 3t = -2 + 3t' \) ta có \( 3t' = 6 + 3t \) hay \( t' = 2 + t \) So sánh các giá trị của \( t' \): \[ 2 - 2t = 2 - t \\ 2 - 2t = 2 + t \] Từ đây ta thấy rằng không có giá trị \( t \) nào thỏa mãn cả ba phương trình trên. Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau. Kết luận Vì hai đường thẳng không song song và không cắt nhau, nên chúng chéo nhau. Đáp án đúng là: C. chéo nhau. Câu 31. Để kiểm tra mối quan hệ giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), ta cần xem xét các điều kiện về song song, trùng nhau, cắt nhau hoặc chéo nhau. Bước 1: Xác định vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng - Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-7}{1} = \frac{z-3}{4} \] Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\vec{u} = (2, 1, 4)\). - Đường thẳng \(d'\) có phương trình tham số: \[ \frac{x-6}{3} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z+2}{1} \] Vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\vec{v} = (3, -2, 1)\). Bước 2: Kiểm tra điều kiện song song Hai đường thẳng song song nếu vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau. Ta kiểm tra: \[ \frac{2}{3} \neq \frac{1}{-2} \neq \frac{4}{1} \] Vì các tỉ số này không bằng nhau, nên hai đường thẳng không song song. Bước 3: Kiểm tra điều kiện trùng nhau Hai đường thẳng trùng nhau nếu vectơ chỉ phương của chúng tỉ lệ với nhau và điểm trên một đường thẳng cũng thuộc đường thẳng kia. Ta đã biết vectơ chỉ phương không tỉ lệ với nhau, do đó hai đường thẳng không trùng nhau. Bước 4: Kiểm tra điều kiện cắt nhau Hai đường thẳng cắt nhau nếu có điểm chung. Ta giả sử điểm chung có tọa độ \((x, y, z)\). Ta viết phương trình tham số của cả hai đường thẳng: - Đường thẳng \(d\): \[ x = 1 + 2t, \quad y = 7 + t, \quad z = 3 + 4t \] - Đường thẳng \(d'\): \[ x = 6 + 3s, \quad y = -1 - 2s, \quad z = -2 + s \] Ta đặt \(x, y, z\) của cả hai đường thẳng bằng nhau: \[ 1 + 2t = 6 + 3s \quad (1) \] \[ 7 + t = -1 - 2s \quad (2) \] \[ 3 + 4t = -2 + s \quad (3) \] Giải hệ phương trình này: Từ (1): \[ 2t - 3s = 5 \quad (4) \] Từ (2): \[ t + 2s = -8 \quad (5) \] Từ (3): \[ 4t - s = -5 \quad (6) \] Giải hệ phương trình (4) và (5): Nhân (5) với 2: \[ 2t + 4s = -16 \quad (7) \] Lấy (4) trừ (7): \[ (2t - 3s) - (2t + 4s) = 5 - (-16) \] \[ -7s = 21 \] \[ s = -3 \] Thay \(s = -3\) vào (5): \[ t + 2(-3) = -8 \] \[ t - 6 = -8 \] \[ t = -2 \] Kiểm tra lại với phương trình (6): \[ 4(-2) - (-3) = -5 \] \[ -8 + 3 = -5 \] \[ -5 = -5 \] Vậy hệ phương trình có nghiệm \(t = -2\) và \(s = -3\), do đó hai đường thẳng cắt nhau tại điểm chung. Kết luận: - A. Sai vì hai đường thẳng không song song. - B. Sai vì hai đường thẳng không trùng nhau. - C. Đúng vì hai đường thẳng cắt nhau. - D. Sai vì hai đường thẳng không chéo nhau. Đáp án: C. Đường thẳng d cắt đường thẳng d'. Câu 32. Để kiểm tra xem hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) có cùng phương hay không, ta cần so sánh các vector chỉ phương của chúng. Đường thẳng \( d \) có phương trình: \[ d: \frac{x-1}{-2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-4}{3} \] Vector chỉ phương của \( d \) là \( \vec{u} = (-2, 1, 3) \). Đường thẳng \( d' \) có phương trình: \[ d': \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = -t \\ z = -2 + 3t \end{array} \right. \] Vector chỉ phương của \( d' \) là \( \vec{v} = (1, -1, 3) \). Bây giờ, ta kiểm tra xem \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \) có cùng phương hay không bằng cách xem liệu có tồn tại một số thực \( k \) sao cho \( \vec{u} = k \vec{v} \). Ta có: \[ (-2, 1, 3) = k (1, -1, 3) \] Từ đó ta có hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} -2 = k \\ 1 = -k \\ 3 = 3k \end{array} \right. \] Giải hệ phương trình này: - Từ \( -2 = k \), ta có \( k = -2 \). - Từ \( 1 = -k \), ta có \( k = -1 \). - Từ \( 3 = 3k \), ta có \( k = 1 \). Như vậy, ta thấy rằng không có giá trị \( k \) nào thỏa mãn đồng thời cả ba phương trình trên. Do đó, \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \) không cùng phương. Vậy hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) không cùng phương. Mệnh đề "Hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) cùng phương" là sai.