giải các bài toán sau

Câu 3. Xác suất của biến cố "Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng" là: 0,27 x 0,9 = 0,243 Vậy xác suất của biến cố "Cả hai bệnh nhân đều bị biến chứng nặng" là 0,243. Câu 4. Để tính giá trị biểu thức \( P = 16^a + 5 + 16^{-a} \) khi biết \( 4^a = \frac{7}{9} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định \( 16^a \) và \( 16^{-a} \) - Ta nhận thấy rằng \( 16 = 4^2 \). Do đó: \[ 16^a = (4^2)^a = (4^a)^2 \] - Biết rằng \( 4^a = \frac{7}{9} \), ta thay vào: \[ 16^a = \left( \frac{7}{9} \right)^2 = \frac{49}{81} \] Bước 2: Xác định \( 16^{-a} \) - Ta cũng có: \[ 16^{-a} = \left( 16^a \right)^{-1} = \left( \frac{49}{81} \right)^{-1} = \frac{81}{49} \] Bước 3: Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức \( P \) \[ P = 16^a + 5 + 16^{-a} = \frac{49}{81} + 5 + \frac{81}{49} \] Bước 4: Tính tổng các phân số - Trước tiên, quy đồng mẫu số chung của các phân số: \[ \frac{49}{81} + \frac{81}{49} = \frac{49 \times 49 + 81 \times 81}{81 \times 49} = \frac{2401 + 6561}{3969} = \frac{8962}{3969} \] Bước 5: Cộng thêm 5 vào kết quả trên \[ P = \frac{8962}{3969} + 5 = \frac{8962}{3969} + \frac{5 \times 3969}{3969} = \frac{8962 + 19845}{3969} = \frac{28807}{3969} \] Bước 6: Làm tròn kết quả đến hàng phần mười - Chuyển phân số thành số thập phân: \[ \frac{28807}{3969} \approx 7.26 \] Do đó, giá trị biểu thức \( P \) làm tròn đến hàng phần mười là: \[ P \approx 7.3 \] Câu 1. Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 17 học sinh là: \[ C_{17}^{4} = \frac{17!}{4!(17-4)!} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2380 \] Số cách chọn 4 học sinh nam từ 10 học sinh nam là: \[ C_{10}^{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \] Số cách chọn 4 học sinh nữ từ 7 học sinh nữ là: \[ C_{7}^{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35 \] Số cách chọn cả 4 học sinh cùng giới tính là: \[ 210 + 35 = 245 \] Vậy xác suất của biến cố "Cả 4 học sinh được chọn đều cùng giới tính" là: \[ P = \frac{245}{2380} = \frac{7}{68} \] Đáp số: $\frac{7}{68}$ Câu 2: Khối lượng ban đầu của vi khuẩn là $5 \times 10^{-13}$ gam. Sau mỗi 20 phút, khối lượng của vi khuẩn tăng gấp đôi. Ta cần tìm số lần tăng gấp đôi để khối lượng của vi khuẩn đạt tới khối lượng của Trái Đất là $6 \times 10^{27}$ gam. Gọi số lần tăng gấp đôi là n, ta có: \[ 5 \times 10^{-13} \times 2^n = 6 \times 10^{27} \] \[ 2^n = \frac{6 \times 10^{27}}{5 \times 10^{-13}} \] \[ 2^n = 1.2 \times 10^{40} \] Lấy logarit cơ số 2 của cả hai vế: \[ n = \log_2(1.2 \times 10^{40}) \] \[ n \approx 132.9 \] Vậy n ≈ 133 (vì số lần tăng gấp đôi phải là số nguyên) Thời gian để khối lượng vi khuẩn đạt tới khối lượng của Trái Đất là: \[ 133 \times 20 \text{ phút} = 2660 \text{ phút} \] Chuyển đổi sang giờ: \[ 2660 \text{ phút} = \frac{2660}{60} \text{ giờ} \approx 44.33 \text{ giờ} \] Vậy sau khoảng 44 giờ, khối lượng do tế bào vi khuẩn này sinh ra sẽ đạt tới khối lượng của Trái Đất. Đáp số: 44 giờ. Câu 3: Để tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định thiết diện: - Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm A và M, đồng thời song song với đường thẳng BD. - Vì $(\alpha)$ song song với BD, nên thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi $(\alpha)$ sẽ là một tứ giác ABCD. 2. Xác định các đỉnh của thiết diện: - Thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi $(\alpha)$ sẽ là một tứ giác ABCD, trong đó: - Điểm A nằm trên đáy ABCD. - Điểm M là trung điểm của cạnh SC. - Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua A và M, đồng thời song song với BD. 3. Tìm tọa độ các đỉnh của thiết diện: - Đặt tọa độ gốc tại điểm A(0, 0, 0). - Điểm B có tọa độ (a√2, 0, 0). - Điểm C có tọa độ (a√2, a√2, 0). - Điểm D có tọa độ (0, a√2, 0). - Điểm S có tọa độ (0, 0, 2a). - Điểm M là trung điểm của SC, do đó tọa độ của M là: \[ M = \left( \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2}, a \right) \] 4. Xác định phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$: - Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm A(0, 0, 0) và M $\left( \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2}, a \right)$, đồng thời song song với BD. - Vector BD = (a√2, a√2, 0). - Vector AM = $\left( \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2}, a \right)$. - Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là tích vector của BD và AM: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a\sqrt{2} & a\sqrt{2} & 0 \\ \frac{a\sqrt{2}}{2} & \frac{a\sqrt{2}}{2} & a \end{vmatrix} = (a^2\sqrt{2}, -a^2\sqrt{2}, 0) \] - Phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ là: \[ a^2\sqrt{2}(x - 0) - a^2\sqrt{2}(y - 0) + 0(z - 0) = 0 \implies x - y = 0 \implies x = y \] 5. Tìm giao điểm của mặt phẳng $(\alpha)$ với các cạnh của hình chóp: - Giao điểm của $(\alpha)$ với SB: \[ S(0, 0, 2a), B(a\sqrt{2}, 0, 0) \] Đường thẳng SB có phương trình tham số: \[ \frac{x}{a\sqrt{2}} = \frac{y}{0} = \frac{z - 2a}{-2a} \] Thay vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$: \[ x = y \implies \frac{x}{a\sqrt{2}} = \frac{x}{0} = \frac{z - 2a}{-2a} \] Giải ra được giao điểm N $\left( \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{a\sqrt{2}}{2}, a \right)$. 6. Diện tích thiết diện: - Thiết diện là hình bình hành ANMD. - Diện tích hình bình hành ANMD là: \[ S_{ANMD} = \frac{1}{2} \times \text{Diện tích hình chữ nhật ABCD} = \frac{1}{2} \times (a\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \times 2a^2 = a^2 \] Vậy diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ là $a^2$.