Chjhgggjjghj

Câu 9. Để tính thể tích của khối xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) quanh trục hoành, ta sử dụng công thức thể tích khối xoay. Công thức thể tích khối xoay khi quay quanh trục hoành là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) \) là hàm số đã cho. - \( a \) và \( b \) là cận trên và cận dưới của đoạn quay. Do đó, đáp án đúng là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Vậy đáp án đúng là: C. \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) Đáp án: C. \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) Câu 10. Để tính giá trị của biểu thức $\int_3^4 f(x) \, dx$, ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và tính chất của tích phân. Ta biết rằng: \[ \int_3^5 f(x) \, dx = -2 \] và \[ \int_0^1 f(x) \, dx = -4. \] Tuy nhiên, để tính $\int_3^4 f(x) \, dx$, ta cần sử dụng tính chất của tích phân liên quan đến việc chia đoạn tích phân. Ta có: \[ \int_3^5 f(x) \, dx = \int_3^4 f(x) \, dx + \int_4^5 f(x) \, dx. \] Do đó: \[ -2 = \int_3^4 f(x) \, dx + \int_4^5 f(x) \, dx. \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị của $\int_4^5 f(x) \, dx$. Ta có thể sử dụng thông tin từ $\int_0^1 f(x) \, dx = -4$ để suy ra giá trị này. Tuy nhiên, trong bài toán này, ta không có thông tin trực tiếp về $\int_4^5 f(x) \, dx$. Do đó, ta giả sử rằng $\int_4^5 f(x) \, dx = 0$ (vì không có thông tin khác). Vậy ta có: \[ -2 = \int_3^4 f(x) \, dx + 0, \] suy ra: \[ \int_3^4 f(x) \, dx = -2. \] Đáp án đúng là: D. -2. Câu 11. Để tính $\int_0^1 [f(x) - g(x)] \, dx$, ta sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân: \[ \int_0^1 [f(x) - g(x)] \, dx = \int_0^1 f(x) \, dx - \int_0^1 g(x) \, dx \] Ta đã biết: \[ \int_0^1 f(x) \, dx = 5 \] \[ \int_0^1 g(x) \, dx = -4 \] Thay các giá trị này vào công thức trên: \[ \int_0^1 [f(x) - g(x)] \, dx = 5 - (-4) = 5 + 4 = 9 \] Vậy đáp án đúng là: C. 9. Câu 12. Để xác định hàm số \( f(x) \) sao cho \( F(x) = 2\sin x + 3x \) là một nguyên hàm của \( f(x) \), ta cần tính đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x + 3x) \] Áp dụng công thức đạo hàm: \[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \] \[ \frac{d}{dx}(x) = 1 \] Do đó: \[ F'(x) = 2 \cdot \cos x + 3 \cdot 1 \] \[ F'(x) = 2\cos x + 3 \] Bước 2: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: A. \( f(x) = -2\cos x - 3 \) B. \( f(x) = 2\cos x - 3 \) C. \( f(x) = -2\cos x + 3 \) D. \( f(x) = 2\cos x + 3 \) Ta thấy rằng \( F'(x) = 2\cos x + 3 \) khớp với đáp án D. Vậy, hàm số \( f(x) \) là: \[ \boxed{D. f(x) = 2\cos x + 3} \] Câu 1. a) Nguyên hàm của hàm số $y=3x^2+1$ là $F(x)=x^3+x+C.$ b) $\int^2_0(3x^2+1)dx=[x^3+x]^2_0=(2^3+2)-(0^3+0)=10.$ c) $\int^2_0k(3x^2+1)dx=k\int^2_0(3x^2+1)dx=10k.$ với k là số thực. d) $\int^1_0(3x^2+1)dx+\int^2_0(3x^2+1)dx=\int^2_0(3x^2+1)dx-\int^1_0(3x^2+1)dx+\int^2_0(3x^2+1)dx=2\times \int^2_0(3x^2+1)dx-2\times \int^1_0(3x^2+1)dx=2\times (\int^2_0(3x^2+1)dx-\int^1_0(3x^2+1)dx)=2\times \int^2_1(3x^2+1)dx=2\times ([x^3+x]^2_1)=(2^3+2)-(1^3+1))=2\times 8=16.$ Câu 2. a) Với $m=-1$ thì ta có $B(2m+1;-2;m-4)=B(-1;-2;-5).$ Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ ta có: $2\times (-1)+(-2)-2\times (-5)+6=12\ne 0.$ Vậy điểm B không thuộc mặt phẳng $(\alpha).$ b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ ta có: $2\times (-1)+(-2)-2\times 1+6=0.$ Vậy điểm A thuộc mặt phẳng $(\alpha).$ c) Mặt phẳng $(\alpha):~2x+y-2z+6=0$ có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;1;-2).$ d) Mặt phẳng $(P):~-2x+y+2z-6=0$ có một véc-tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n'}=(-2;1;2).$ Ta có $\frac{-2}{2}\ne \frac{1}{1}.$ Vậy hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(P)$ không song song. Câu 1. Để tính giá trị của \( m + n \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tích phân của hàm số \( f(x) = mx + n \): \[ \int f(x) \, dx = \int (mx + n) \, dx = \frac{m}{2}x^2 + nx + C \] 2. Áp dụng điều kiện tích phân từ 0 đến 1: \[ \int_0^1 f(x) \, dx = \left[ \frac{m}{2}x^2 + nx \right]_0^1 = \left( \frac{m}{2}(1)^2 + n(1) \right) - \left( \frac{m}{2}(0)^2 + n(0) \right) = \frac{m}{2} + n \] Theo đề bài, ta có: \[ \frac{m}{2} + n = 3 \quad \text{(1)} \] 3. Áp dụng điều kiện tích phân từ 0 đến 2: \[ \int_0^2 f(x) \, dx = \left[ \frac{m}{2}x^2 + nx \right]_0^2 = \left( \frac{m}{2}(2)^2 + n(2) \right) - \left( \frac{m}{2}(0)^2 + n(0) \right) = 2m + 2n \] Theo đề bài, ta có: \[ 2m + 2n = 8 \quad \text{(2)} \] 4. Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1): \[ \frac{m}{2} + n = 3 \implies m + 2n = 6 \quad \text{(3)} \] Từ phương trình (2): \[ 2m + 2n = 8 \implies m + n = 4 \quad \text{(4)} \] Bây giờ, chúng ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} m + 2n = 6 \\ m + n = 4 \end{cases} \] Trừ phương trình (4) từ phương trình (3): \[ (m + 2n) - (m + n) = 6 - 4 \implies n = 2 \] Thay \( n = 2 \) vào phương trình (4): \[ m + 2 = 4 \implies m = 2 \] 5. Tính \( m + n \): \[ m + n = 2 + 2 = 4 \] Vậy, giá trị của \( m + n \) là \( 4 \). Câu 2. Để tính $F(2)$, trước tiên chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 3x^2 - 1$. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$. \[ F(x) = \int (3x^2 - 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx - \int 1 \, dx = x^3 - x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng điều kiện $F(1) = 1$. \[ F(1) = 1^3 - 1 + C = 1 \] \[ 1 - 1 + C = 1 \] \[ C = 1 \] Bước 3: Viết lại biểu thức của $F(x)$ với giá trị của $C$ đã tìm được. \[ F(x) = x^3 - x + 1 \] Bước 4: Tính $F(2)$. \[ F(2) = 2^3 - 2 + 1 = 8 - 2 + 1 = 7 \] Vậy, $F(2) = 7$. Câu 3. Để tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích của hình phẳng (H): - Đồ thị của hàm số \( y = 2x - x^2 \) cắt trục hoành tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = 2 \). - Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường \( y = 2x - x^2 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \) và trục hoành. 2. Tính thể tích của vật thể tròn xoay: - Khi một hình phẳng quay quanh trục Ox, thể tích của vật thể tròn xoay được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Trong trường hợp này, \( f(x) = 2x - x^2 \), \( a = 0 \), và \( b = 2 \). 3. Áp dụng công thức: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx \] 4. Tính tích phân: \[ (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4 \] Do đó, \[ V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4) \, dx \] 5. Tính từng phần tích phân: \[ \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{32}{3} \] \[ \int_{0}^{2} -4x^3 \, dx = -4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = -4 \left( \frac{16}{4} - 0 \right) = -16 \] \[ \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{32}{5} \] 6. Cộng các kết quả lại: \[ V = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) \] Chuyển tất cả về cùng mẫu số: \[ \frac{32}{3} = \frac{160}{15}, \quad -16 = -\frac{240}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15} \] \[ V = \pi \left( \frac{160}{15} - \frac{240}{15} + \frac{96}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 240 + 96}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15} \] 7. Làm tròn kết quả: \[ V \approx \frac{16 \times 3.14159}{15} \approx 3.35 \] Vậy thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) quay quanh trục Ox là khoảng 3.35 đơn vị thể tích. Câu 4. Để hai mặt phẳng $(P_1)$ và $(P_2)$ vuông góc nhau thì tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng phải bằng 0. Vectơ pháp tuyến của $(P_1)$ là $\vec{n_1}=(4,-3m^3,-2)$ Vectơ pháp tuyến của $(P_2)$ là $\vec{n_2}=(5,-2,13)$ Ta có: $\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=4\times 5+(-3m^3)\times (-2)+(-2)\times 13=0$ $20+6m^3-26=0$ $m^3=1$ $m=1$ Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài. Câu 5. Để tính tích phân $I=\int^3_1\frac{x^2+2}{x}dx$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Rút gọn phân thức trong tích phân: \[ \frac{x^2 + 2}{x} = x + \frac{2}{x} \] Bước 2: Tách tích phân thành tổng của hai tích phân: \[ I = \int^3_1 \left( x + \frac{2}{x} \right) dx = \int^3_1 x \, dx + \int^3_1 \frac{2}{x} \, dx \] Bước 3: Tính từng tích phân riêng lẻ: - Tích phân $\int^3_1 x \, dx$: \[ \int^3_1 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]^3_1 = \frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4 \] - Tích phân $\int^3_1 \frac{2}{x} \, dx$: \[ \int^3_1 \frac{2}{x} \, dx = 2 \int^3_1 \frac{1}{x} \, dx = 2 \left[ \ln |x| \right]^3_1 = 2 (\ln 3 - \ln 1) = 2 \ln 3 \] Bước 4: Cộng kết quả của hai tích phân lại: \[ I = 4 + 2 \ln 3 \] Vậy, tích phân $I=\int^3_1\frac{x^2+2}{x}dx$ là: \[ I = 4 + 2 \ln 3 \]