bhhcghjkog

Câu 2: Để tìm góc giữa hai đường thẳng BA' và AC trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương: Giả sử cạnh lập phương có độ dài là 1 đơn vị. Ta chọn hệ tọa độ sao cho: - A(0, 0, 0) - B(1, 0, 0) - C(1, 1, 0) - D(0, 1, 0) - A'(0, 0, 1) - B'(1, 0, 1) - C'(1, 1, 1) - D'(0, 1, 1) 2. Tìm vector của các đường thẳng: - Vector \(\overrightarrow{BA'}\) từ B đến A': \[ \overrightarrow{BA'} = A' - B = (0, 0, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 1) \] - Vector \(\overrightarrow{AC}\) từ A đến C: \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0) \] 3. Tính tích vô hướng của hai vector: \[ \overrightarrow{BA'} \cdot \overrightarrow{AC} = (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = -1 \] 4. Tính độ dài của hai vector: - Độ dài của \(\overrightarrow{BA'}\): \[ |\overrightarrow{BA'}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \] - Độ dài của \(\overrightarrow{AC}\): \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \] 5. Tính cosin của góc giữa hai vector: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{BA'} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{BA'}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-1}{2} \] 6. Tìm góc \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-1}{2}\right) = 120^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng BA' và AC là \(120^\circ\). Câu 3: Để tính biểu thức $\ln\frac{1}{2} + \ln\frac{2}{3} + \ln\frac{3}{4} + ... + \ln\frac{98}{99} + \ln\frac{99}{100}$, ta sẽ sử dụng tính chất của lôgarit tự nhiên. Theo tính chất của lôgarit tự nhiên, ta có: \[ \ln(a) + \ln(b) = \ln(ab) \] Áp dụng tính chất này vào biểu thức trên, ta có: \[ \ln\frac{1}{2} + \ln\frac{2}{3} + \ln\frac{3}{4} + ... + \ln\frac{98}{99} + \ln\frac{99}{100} = \ln\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{100}\right) \] Nhận thấy rằng trong tích này, các phân số liên tiếp sẽ triệt tiêu nhau: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot ... \cdot \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{100} = \frac{1}{100} \] Do đó, biểu thức trở thành: \[ \ln\left(\frac{1}{100}\right) \] Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng: \[ \ln\left(\frac{1}{100}\right) = \ln(1) - \ln(100) = 0 - \ln(10^2) = -2\ln(10) \] Biết rằng $\ln(10) \approx 2.302585$, ta có: \[ -2\ln(10) \approx -2 \times 2.302585 = -4.60517 \] Làm tròn đến hàng phần chục, ta có: \[ -4.60517 \approx -4.6 \] Vậy giá trị của biểu thức $\ln\frac{1}{2} + \ln\frac{2}{3} + \ln\frac{3}{4} + ... + \ln\frac{98}{99} + \ln\frac{99}{100}$ làm tròn đến hàng phần chục là $-4.6$.