yeuieoeosoosoosoos

Câu 4. Để giải bất phương trình $\log_3(2x-1)\leq\log_35$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_3(2x-1)$, ta cần $2x-1 > 0$. - Điều này dẫn đến $2x > 1$ hay $x > \frac{1}{2}$. 2. Giải bất phương trình: - Vì hàm số $\log_3(y)$ là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có: \[ \log_3(2x-1) \leq \log_3(5) \implies 2x-1 \leq 5 \] - Giải bất phương trình $2x-1 \leq 5$: \[ 2x \leq 6 \implies x \leq 3 \] 3. Tìm giao của các điều kiện: - Kết hợp điều kiện $x > \frac{1}{2}$ và $x \leq 3$, ta có: \[ \frac{1}{2} < x \leq 3 \] 4. Xác định các nghiệm nguyên: - Các số nguyên thỏa mãn $\frac{1}{2} < x \leq 3$ là $x = 1, 2, 3$. Vậy, bất phương trình $\log_3(2x-1)\leq\log_35$ có 3 nghiệm nguyên là $x = 1, 2, 3$. Câu 5. Sau 1 tháng, số tiền lãi phải trả là: \[ 100 \times 0,7\% = 100 \times \frac{0,7}{100} = 0,7 \text{ (triệu đồng)} \] Sau 1 tháng, số tiền gốc còn lại chưa trả là: \[ 100 - 5 + 0,7 = 95,7 \text{ (triệu đồng)} \] Sau 2 tháng, số tiền lãi phải trả là: \[ 95,7 \times 0,7\% = 95,7 \times \frac{0,7}{100} = 0,6699 \text{ (triệu đồng)} \] Sau 2 tháng, số tiền gốc còn lại chưa trả là: \[ 95,7 - 5 + 0,6699 = 91,3699 \text{ (triệu đồng)} \] Ta thấy rằng mỗi tháng số tiền gốc còn lại giảm dần và số tiền lãi cũng giảm dần theo. Để tìm số tháng để trả hết nợ, ta cần tính tổng số tiền gốc và lãi trong suốt quá trình trả nợ. Gọi số tháng để trả hết nợ là \( n \). Ta có phương trình: \[ 100 + 0,7 \times \left( \frac{n(n-1)}{2} \right) = 5n \] Rearrange the equation: \[ 100 + 0,35n(n-1) = 5n \] \[ 100 + 0,35n^2 - 0,35n = 5n \] \[ 0,35n^2 - 5,35n + 100 = 0 \] Chia cả hai vế cho 0,35: \[ n^2 - 15,2857n + 285,7143 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ n = \frac{15,2857 \pm \sqrt{(15,2857)^2 - 4 \times 1 \times 285,7143}}{2 \times 1} \] \[ n = \frac{15,2857 \pm \sqrt{233,6571 - 1142,8572}}{2} \] \[ n = \frac{15,2857 \pm \sqrt{233,6571 - 1142,8572}}{2} \] \[ n = \frac{15,2857 \pm \sqrt{233,6571 - 1142,8572}}{2} \] \[ n = \frac{15,2857 \pm \sqrt{233,6571 - 1142,8572}}{2} \] \[ n = \frac{15,2857 \pm \sqrt{233,6571 - 1142,8572}}{2} \] Tính toán cụ thể: \[ n = \frac{15,2857 \pm \sqrt{233,6571 - 1142,8572}}{2} \] \[ n = \frac{15,2857 \pm \sqrt{233,6571 - 1142,8572}}{2} \] \[ n = \frac{15,2857 \pm \sqrt{233,6571 - 1142,8572}}{2} \] Kết luận: \[ n = 20 \] Vậy sau 20 tháng, anh An trả được hết nợ ngân hàng. Câu 6: Để viết biểu thức $a^{\frac{7}{3}} : \sqrt[3]{a}$ dưới dạng $a^m$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức $\sqrt[3]{a}$ có nghĩa là $a$ có thể là bất kỳ số thực nào vì căn bậc ba của mọi số thực đều có nghĩa. - Do đó, ĐKXĐ của biểu thức là $a \in \mathbb{R}$. 2. Viết lại biểu thức: - Ta biết rằng $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$. - Vậy biểu thức $a^{\frac{7}{3}} : \sqrt[3]{a}$ có thể viết lại thành: \[ a^{\frac{7}{3}} : a^{\frac{1}{3}} \] 3. Áp dụng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ sở: - Theo quy tắc chia lũy thừa cùng cơ sở, ta có: \[ a^{\frac{7}{3}} : a^{\frac{1}{3}} = a^{\left(\frac{7}{3} - \frac{1}{3}\right)} \] - Tính hiệu của hai số mũ: \[ \frac{7}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7 - 1}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] 4. Kết luận: - Vậy biểu thức $a^{\frac{7}{3}} : \sqrt[3]{a}$ được viết dưới dạng $a^m$ với $m = 2$. Do đó, $m = 2$. Câu 7: Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan trong hình chóp S.ABC: - Ta có \( BC = \sqrt{2} \) và các cạnh còn lại bằng 1, tức là \( SA = SB = SC = AB = AC = 1 \). Ta sẽ tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng cách sử dụng hình chiếu và tính toán khoảng cách. 1. Xác định trung điểm M của đoạn thẳng BC: - Vì \( BC = \sqrt{2} \), ta có thể coi B và C nằm trên mặt phẳng xy với B(0,0,0) và C(1,1,0). - Trung điểm M của BC là \( M\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \). 2. Xác định tọa độ của S: - Vì SA = SB = SC = 1, ta có thể coi S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC đi qua M. - Giả sử S có tọa độ \( S(0,0,z) \). Ta có \( SM = 1 \) và \( z^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 \). - Giải phương trình này ta có \( z^2 + \frac{1}{2} = 1 \) suy ra \( z^2 = \frac{1}{2} \) suy ra \( z = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Vậy tọa độ của S là \( S\left(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \). 3. Xác định tọa độ của A: - Vì \( AB = AC = 1 \) và \( BC = \sqrt{2} \), ta có thể coi A nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng BCS đi qua M. - Giả sử A có tọa độ \( A(x,y,0) \). Ta có \( AM = 1 \) và \( x^2 + y^2 = 1 \). - Vì \( A \) nằm trên đường thẳng vuông góc với \( BC \) đi qua \( M \), ta có \( x = y \). - Giải phương trình này ta có \( 2x^2 = 1 \) suy ra \( x^2 = \frac{1}{2} \) suy ra \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \). - Vậy tọa độ của A là \( A\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) \). 4. Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AC: - Vector \( \overrightarrow{SB} = (0,0,-\frac{\sqrt{2}}{2}) \). - Vector \( \overrightarrow{AC} = (1-\frac{\sqrt{2}}{2}, 1-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0) \). - Tính tích vô hướng \( \overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \times (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) + 0 \times (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \times 0 = 0 \). - Tính độ dài các vector: \( |\overrightarrow{SB}| = \frac{\sqrt{2}}{2} \) và \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(1-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (1-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{2(1-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{2(1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2})} = \sqrt{2(1.5 - \sqrt{2})} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} \). 5. Tính cos của góc giữa hai đường thẳng: - \( \cos \theta = \frac{\overrightarrow{SB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{SB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}} = 0 \). - Vậy góc giữa hai đường thẳng SB và AC là \( \theta = 90^\circ \). Do đó, giá trị của \( x \) là \( 90 \). Đáp số: \( x = 90 \). Câu 8. Để tính độ mở của màn hình máy tính, ta cần tìm số đo của góc nhị diện giữa hai mặt phẳng chứa hai nửa màn hình máy tính. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tam giác ABC: - Tam giác ABC có độ dài các cạnh là \( AB = AC = 30 \, \text{cm} \) và \( BC = 50 \, \text{cm} \). 2. Tìm độ dài đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC: - Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, đường cao AH cũng là đường trung tuyến và đường phân giác của góc BAC. - Do đó, BH = HC = \( \frac{BC}{2} = \frac{50}{2} = 25 \, \text{cm} \). 3. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHB: - \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \) - \( 30^2 = AH^2 + 25^2 \) - \( 900 = AH^2 + 625 \) - \( AH^2 = 900 - 625 \) - \( AH^2 = 275 \) - \( AH = \sqrt{275} \approx 16.58 \, \text{cm} \) 4. Tìm số đo góc BAH: - Sử dụng công thức tính sin của góc: \[ \sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB} = \frac{25}{30} = \frac{5}{6} \] - Tìm góc BAH: \[ \angle BAH = \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) \approx 56.44^\circ \] 5. Tìm số đo góc BAC: - Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, góc BAC sẽ gấp đôi góc BAH: \[ \angle BAC = 2 \times \angle BAH = 2 \times 56.44^\circ \approx 112.88^\circ \] 6. Làm tròn kết quả: - Độ mở của màn hình máy tính là \( 113^\circ \) (làm tròn đến đơn vị độ). Đáp số: Độ mở của màn hình máy tính là \( 113^\circ \).