Giúp vs ạ. Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x+3}~(x\geq0,~x
e4)$,1, Tìm x nguyên để A nguyên,2, Tìm x để $A

Question

Giúp vs ạ. Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x+3}~(x\geq0,~x
e4)$,1, Tìm x nguyên để A nguyên,2, Tìm x để $A<\frac{-1}2$,3, Tìm x để A nguyên,4, Tìm x để $A=\frac{-1}2$

Accepted Answer

Để giải quyết các yêu cầu của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

Phần 1: Tìm x nguyên để A nguyên

Biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$

Để $A$ là số nguyên, phân số $\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$ phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là $\sqrt{x} + 1$ phải chia hết cho $\sqrt{x} + 3$.

Gọi $\sqrt{x} = t$, ta có:
$$ A = \frac{t + 1}{t + 3} $$

Để $\frac{t + 1}{t + 3}$ là số nguyên, ta xét các trường hợp:
- Nếu $t + 1 = k(t + 3)$ với $k$ là số nguyên, ta có:
$$ t + 1 = kt + 3k $$
$$ t - kt = 3k - 1 $$
$$ t(1 - k) = 3k - 1 $$

Điều này chỉ đúng nếu $1 - k = 0$ hoặc $3k - 1 = 0$.

- Trường hợp $1 - k = 0$:
$$ k = 1 $$
$$ t + 1 = t + 3 $$ (không thỏa mãn)

- Trường hợp $3k - 1 = 0$:
$$ k = \frac{1}{3} $$ (không là số nguyên)

Do đó, không có giá trị nào của $t$ (hay $\sqrt{x}$) sao cho $\frac{t + 1}{t + 3}$ là số nguyên. Vậy không có giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên.

Phần 2: Tìm x để $A < \frac{-1}{2}$

Ta có:
$$ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} < \frac{-1}{2} $$

Nhân cả hai vế với $(\sqrt{x} + 3)$ (vì $\sqrt{x} + 3 > 0$):
$$ \sqrt{x} + 1 < \frac{-1}{2} (\sqrt{x} + 3) $$
$$ \sqrt{x} + 1 < \frac{-\sqrt{x}}{2} - \frac{3}{2} $$
$$ \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} < -\frac{3}{2} - 1 $$
$$ \frac{3\sqrt{x}}{2} < -\frac{5}{2} $$
$$ 3\sqrt{x} < -5 $$

Điều này không thể xảy ra vì $\sqrt{x}$ luôn dương hoặc bằng 0. Do đó, không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn điều kiện này.

Phần 3: Tìm x để A nguyên

Phần này đã được giải ở phần 1, kết luận là không có giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên.

Phần 4: Tìm x để $A = \frac{-1}{2}$

Ta có:
$$ \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{-1}{2} $$

Nhân cả hai vế với $(\sqrt{x} + 3)$:
$$ \sqrt{x} + 1 = \frac{-1}{2} (\sqrt{x} + 3) $$
$$ \sqrt{x} + 1 = \frac{-\sqrt{x}}{2} - \frac{3}{2} $$
$$ \sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2} = -\frac{3}{2} - 1 $$
$$ \frac{3\sqrt{x}}{2} = -\frac{5}{2} $$
$$ 3\sqrt{x} = -5 $$

Điều này không thể xảy ra vì $\sqrt{x}$ luôn dương hoặc bằng 0. Do đó, không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn điều kiện này.

Kết luận:
1. Không có giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên.
2. Không có giá trị nào của $x$ để $A < \frac{-1}{2}$.
3. Không có giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên.
4. Không có giá trị nào của $x$ để $A = \frac{-1}{2}$.