Giải hộ tớ với ạ

Câu 8: Để tính tích phân $\int^4_2 f(x) \, dx$, ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ \int^b_a f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Trong đó, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ \int^4_2 f(x) \, dx = F(4) - F(2) \] Biết rằng $F(2) = 6$ và $F(4) = 12$, ta thay vào công thức trên: \[ \int^4_2 f(x) \, dx = 12 - 6 = 6 \] Vậy tích phân $\int^4_2 f(x) \, dx$ bằng 6. Đáp án đúng là: D. 6. Câu 9: Để tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = x^2 \), trục Ox, \( x = 1 \) và \( x = 3 \) quay quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = x^2 \) - Giới hạn tích phân từ \( x = 1 \) đến \( x = 3 \) Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{1}^{3} (x^2)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{1}^{3} x^4 \, dx \] Bây giờ, ta tính tích phân: \[ \int_{1}^{3} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{3} \] \[ = \frac{3^5}{5} - \frac{1^5}{5} \] \[ = \frac{243}{5} - \frac{1}{5} \] \[ = \frac{242}{5} \] Như vậy, thể tích khối tròn xoay là: \[ V = \pi \cdot \frac{242}{5} = \frac{242\pi}{5} \] Đáp án đúng là: D. \( V = \frac{242\pi}{5} \). Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{1}{x} \) trên khoảng \( (0; +\infty) \). Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \frac{1}{x} \) Nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \) là \( \ln|x| + C \). Vì \( x \) thuộc khoảng \( (0; +\infty) \), nên \( |x| = x \). Do đó, nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = \ln x + C \] Bước 2: Xác định hằng số \( C \) bằng cách sử dụng điều kiện \( F(e) = 3 \) Thay \( x = e \) vào \( F(x) \): \[ F(e) = \ln e + C = 3 \] Biết rằng \( \ln e = 1 \), ta có: \[ 1 + C = 3 \] Suy ra: \[ C = 2 \] Bước 3: Viết lại nguyên hàm \( F(x) \) với hằng số \( C \) đã tìm được \[ F(x) = \ln x + 2 \] Bước 4: Tính \( F(5) \) Thay \( x = 5 \) vào \( F(x) \): \[ F(5) = \ln 5 + 2 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F(5) = \ln 5 + 2 \) Đáp số: A. \( F(5) = \ln 5 + 2 \) Câu 11: Để tìm diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 3^x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \), ta sẽ áp dụng công thức tính diện tích giữa đồ thị hàm số và trục hoành trong khoảng xác định. Bước 1: Xác định khoảng xác định - Khoảng xác định từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) được tính bằng: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Trong trường hợp này, hàm số \( y = 3^x \) luôn dương trên khoảng \( [0, 2] \), nên ta có: \[ S = \int_{0}^{2} 3^x \, dx \] Bước 3: Kiểm tra các phương án A. \( S = \int_{0}^{2} 3^x \, dx \) B. \( S = \pi \int_{0}^{2} 3^{2x} \, dx \) C. \( S = \pi \int_{0}^{2} 3^x \, dx \) D. \( S = \int_{0}^{2} 3^{2x} \, dx \) Phương án đúng là: A. \( S = \int_{0}^{2} 3^x \, dx \) Vậy đáp án đúng là: A. \( S = \int_{0}^{2} 3^x \, dx \). Câu 12: Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 2x^2 \), \( y = -1 \), \( x = 0 \) và \( x = 1 \), ta sẽ áp dụng phương pháp tính diện tích bằng tích phân. Bước 1: Xác định khoảng tích phân - Giới hạn trên là \( x = 1 \) - Giới hạn dưới là \( x = 0 \) Bước 2: Xác định hàm số tạo thành diện tích - Diện tích giới hạn bởi hai đường \( y = 2x^2 \) và \( y = -1 \). Bước 3: Tính diện tích bằng tích phân - Diện tích S được tính bằng cách lấy tích phân của hiệu giữa hàm số trên và hàm số dưới trong khoảng từ 0 đến 1. \[ S = \int_{0}^{1} [(2x^2) - (-1)] \, dx \] \[ S = \int_{0}^{1} (2x^2 + 1) \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( S = \int_{0}^{1} (2x^2 + 1) \, dx \). Câu 13: Khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x$, trục Ox, trục Oy và đường thẳng $x = \frac{\pi}{2}$ xung quanh trục Ox. Để tính thể tích của khối tròn xoay này, ta sử dụng công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi quay một miền giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục Ox và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$ xung quanh trục Ox: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này: - $f(x) = \sin x$ - Giới hạn từ $x = 0$ đến $x = \frac{\pi}{2}$ Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^2 \, dx \] Do đó, mệnh đề đúng là: C. $V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx$ Đáp án: C. $V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \, dx$