giúp em với ạ

Câu 1: Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=-3x^2+8x+1$ biết $F(-2)=12$ Ta có: \[ F(x) = \int (-3x^2 + 8x + 1) \, dx \] \[ F(x) = -x^3 + 4x^2 + x + C \] Biết rằng $F(-2) = 12$, ta thay vào để tìm $C$: \[ F(-2) = -(-2)^3 + 4(-2)^2 + (-2) + C = 12 \] \[ 8 + 16 - 2 + C = 12 \] \[ 22 + C = 12 \] \[ C = 12 - 22 \] \[ C = -10 \] Vậy nguyên hàm là: \[ F(x) = -x^3 + 4x^2 + x - 10 \] Câu 2a: Cho $\int^4_2 \frac{2x^2 - 4x + 5}{x} \, dx = a + b \ln c$. Tính $S = a + 2b + 3c$ Ta có: \[ \int^4_2 \frac{2x^2 - 4x + 5}{x} \, dx = \int^4_2 \left( 2x - 4 + \frac{5}{x} \right) \, dx \] \[ = \left[ x^2 - 4x + 5 \ln |x| \right]^4_2 \] \[ = \left( 4^2 - 4 \cdot 4 + 5 \ln 4 \right) - \left( 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 \ln 2 \right) \] \[ = (16 - 16 + 5 \ln 4) - (4 - 8 + 5 \ln 2) \] \[ = 5 \ln 4 - 5 \ln 2 + 4 \] \[ = 5 (\ln 4 - \ln 2) + 4 \] \[ = 5 \ln \left( \frac{4}{2} \right) + 4 \] \[ = 5 \ln 2 + 4 \] So sánh với $a + b \ln c$, ta có: \[ a = 4, \quad b = 5, \quad c = 2 \] Vậy: \[ S = a + 2b + 3c = 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2 = 4 + 10 + 6 = 20 \] Câu 2b: Biết $F(x)$ của hàm số $f(x) = (1 - 2x)(x + 3)$ và $F(-1) = 12$. Tính $F(2)$ Ta có: \[ f(x) = (1 - 2x)(x + 3) = x + 3 - 2x^2 - 6x = -2x^2 - 5x + 3 \] Nguyên hàm của $f(x)$ là: \[ F(x) = \int (-2x^2 - 5x + 3) \, dx \] \[ F(x) = -\frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x + C \] Biết rằng $F(-1) = 12$, ta thay vào để tìm $C$: \[ F(-1) = -\frac{2}{3}(-1)^3 - \frac{5}{2}(-1)^2 + 3(-1) + C = 12 \] \[ \frac{2}{3} - \frac{5}{2} - 3 + C = 12 \] \[ \frac{2}{3} - \frac{5}{2} - 3 + C = 12 \] \[ \frac{4}{6} - \frac{15}{6} - \frac{18}{6} + C = 12 \] \[ -\frac{29}{6} + C = 12 \] \[ C = 12 + \frac{29}{6} \] \[ C = \frac{72}{6} + \frac{29}{6} \] \[ C = \frac{101}{6} \] Vậy nguyên hàm là: \[ F(x) = -\frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x + \frac{101}{6} \] Bây giờ tính $F(2)$: \[ F(2) = -\frac{2}{3}(2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 + 3(2) + \frac{101}{6} \] \[ = -\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{5}{2} \cdot 4 + 6 + \frac{101}{6} \] \[ = -\frac{16}{3} - 10 + 6 + \frac{101}{6} \] \[ = -\frac{32}{6} - \frac{60}{6} + \frac{36}{6} + \frac{101}{6} \] \[ = \frac{-32 - 60 + 36 + 101}{6} \] \[ = \frac{45}{6} \] \[ = \frac{15}{2} \] Vậy $F(2) = \frac{15}{2}$ Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của parabol. 2. Tính diện tích của hình parabol. 3. Tính số tiền nhà trường phải trả dựa trên diện tích và giá tiền công. Bước 1: Xác định phương trình của parabol Ta giả sử đỉnh của parabol nằm tại điểm $(0, 2,25)$ và trục đối xứng của parabol là trục $y$. Parabol có dạng phương trình: \[ y = a x^2 + 2,25 \] Biết rằng parabol đi qua điểm $(1,5, 0)$ (vì chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét, do đó khoảng cách từ đỉnh đến hai bên là 1,5 mét): \[ 0 = a (1,5)^2 + 2,25 \] \[ 0 = 2,25a + 2,25 \] \[ 2,25a = -2,25 \] \[ a = -1 \] Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -x^2 + 2,25 \] Bước 2: Tính diện tích của hình parabol Diện tích của hình parabol có thể tính bằng cách tích phân phương trình của parabol từ $-1,5$ đến $1,5$: \[ A = 2 \int_{0}^{1,5} (-x^2 + 2,25) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1,5} (-x^2 + 2,25) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2,25x \right]_{0}^{1,5} \] \[ = \left( -\frac{(1,5)^3}{3} + 2,25 \cdot 1,5 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 2,25 \cdot 0 \right) \] \[ = \left( -\frac{3,375}{3} + 3,375 \right) - 0 \] \[ = \left( -1,125 + 3,375 \right) \] \[ = 2,25 \] Vậy diện tích của hình parabol là: \[ A = 2 \times 2,25 = 4,5 \text{ mét vuông} \] Bước 3: Tính số tiền nhà trường phải trả Giá tiền công mỗi mét vuông là 1 500 000 đồng: \[ \text{Số tiền nhà trường phải trả} = 4,5 \times 1 500 000 = 6 750 000 \text{ đồng} \] Đáp số: Số tiền nhà trường phải trả là 6 750 000 đồng.