Giải chi tiết

Câu 2: a) Ta thấy hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ có cùng vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2,-2,1).$ Do đó hai mặt phẳng này song song với nhau. Đúng. b) Khoảng cách từ điểm $A(0,1,1)$ đến mặt phẳng $(Q)$ là $d(A,(Q))=\frac{|2\times 0-2\times 1+1\times 1-5|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{6}{3}=2.$ Suy ra khẳng định b sai. c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P)$ và $(Q)$ là $d(P,(Q))=\frac{|1-(-5)|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{6}{3}=2.$ Suy ra khẳng định c sai. d) Ta thấy điểm $B(2,0,1)$ không thuộc mặt phẳng $(P).$ Mặt khác, khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(P)$ là $d(B,(P))=\frac{|2\times 2-2\times 0+1\times 1+1|}{\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}}=\frac{6}{3}=2.$ Suy ra khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $BC$ là $d(C,BC)=d(B,(P))\times \sin 30^0=2\times \frac{1}{2}=1.$ Do đó khoảng cách $BC=\frac{d(C,BC)}{\sin 30^0}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2.$ Suy ra khẳng định d sai. Câu 3: a) Ta thấy điểm $M(1;-1;1)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d:~\frac{x-1}2=\frac{y+1}1=\frac z{-1}$. Vậy điểm $M(1;-1;1)$ nằm trên đường thẳng d. b) Đường thẳng d có phương trình $\frac{x-1}2=\frac{y+1}1=\frac z{-1}$. Vậy một vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow u=(2;1;-1)$. c) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u=(2;1;-1)$. Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow v=(2;1;-1)$. Vì $\overrightarrow u=\overrightarrow v$ nên đường thẳng d song song với đường thẳng $\Delta$. d) Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua M, cắt và vuông góc với d. Ta có vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow u=(2;1;-1)$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow v=(1;-4;-2)$. Ta thấy $\overrightarrow u.\overrightarrow v=2\times 1+1\times (-4)+(-1)\times (-2)=0$. Vậy $\Delta$ vuông góc với d. Phương trình đường thẳng $\Delta là\left\{\begin{array}lx=2+t\\y=1-4t\\z=-2t\end{array}\right.$.