giải đề thi toán

Câu 1. Để tính giá trị của biểu thức \( P = \log_a \left( \frac{a^3 \cdot \sqrt{b}}{c^4} \right) \), ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit. Trước tiên, ta viết lại biểu thức \( P \) dưới dạng tổng và hiệu của các logarit: \[ P = \log_a \left( \frac{a^3 \cdot \sqrt{b}}{c^4} \right) = \log_a (a^3) + \log_a (\sqrt{b}) - \log_a (c^4). \] Sử dụng tính chất \( \log_a (x^y) = y \log_a (x) \), ta có: \[ \log_a (a^3) = 3 \log_a (a) = 3 \cdot 1 = 3, \] \[ \log_a (\sqrt{b}) = \log_a (b^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_a (b) = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5, \] \[ \log_a (c^4) = 4 \log_a (c) = 4 \cdot 5 = 20. \] Do đó, ta có: \[ P = 3 + 1.5 - 20 = 4.5 - 20 = -15.5. \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ P = -15.5. \] Đáp số: \( P = -15.5 \). Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định số lượng vi khuẩn ban đầu \( s(0) \). 2. Tính số lượng vi khuẩn sau 8 phút. Bước 1: Xác định số lượng vi khuẩn ban đầu \( s(0) \) Theo đề bài, sau 4 phút số lượng vi khuẩn là 800 con. Ta có: \[ s(4) = s(0) \cdot 2^4 = 800 \] Từ đó suy ra: \[ s(0) \cdot 16 = 800 \] \[ s(0) = \frac{800}{16} = 50 \] Bước 2: Tính số lượng vi khuẩn sau 8 phút Ta có công thức: \[ s(t) = s(0) \cdot 2^t \] Thay \( t = 8 \) và \( s(0) = 50 \) vào công thức trên: \[ s(8) = 50 \cdot 2^8 \] \[ s(8) = 50 \cdot 256 \] \[ s(8) = 12800 \] Vậy sau 8 phút, số lượng vi khuẩn A phát triển được là 12800 con. Câu 3. Điều kiện xác định: $4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$ Bất phương trình $\log_6(4-x) < 2$ có thể viết lại thành: \[ \log_6(4-x) < \log_6(36) \] Vì hàm số $\log_6(y)$ là hàm số đồng biến trên miền xác định của nó, nên ta có: \[ 4 - x < 36 \] \[ x > -32 \] Kết hợp điều kiện xác định $x < 4$, ta có: \[ -32 < x < 4 \] Các số nguyên thỏa mãn điều kiện này là: \[ x = -31, -30, -29, ..., -1, 0, 1, 2, 3 \] Tập các nghiệm nguyên của bất phương trình là: \[ S = \{-31, -30, -29, ..., -1, 0, 1, 2, 3\} \] Số phần tử của tập S là: \[ |S| = 35 \] Đáp số: 35 Câu 4. Xác suất để cả hai cầu thủ đều không ghi bàn là: \[ P(\text{cả hai không ghi bàn}) = (1 - 0,3) \times (1 - 0,9) = 0,7 \times 0,1 = 0,07 \] Xác suất để có ít nhất một cầu thủ ghi bàn là: \[ P(\text{ít nhất một người ghi bàn}) = 1 - P(\text{cả hai không ghi bàn}) = 1 - 0,07 = 0,93 \] Đáp số: 0,93 Câu 1. Để viết biểu thức $A=\frac{\sqrt[5]{a^7}.a^{\frac85}}{a.\sqrt[3]{a^{-7}}}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết các căn thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ: \[ \sqrt[5]{a^7} = a^{\frac{7}{5}}, \quad \sqrt[3]{a^{-7}} = a^{-\frac{7}{3}} \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = \frac{a^{\frac{7}{5}} \cdot a^{\frac{8}{5}}}{a \cdot a^{-\frac{7}{3}}} \] Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân và chia lũy thừa cùng cơ sở: \[ A = \frac{a^{\frac{7}{5} + \frac{8}{5}}}{a^{1 - \frac{7}{3}}} \] Bước 4: Tính tổng và hiệu các số mũ: \[ \frac{7}{5} + \frac{8}{5} = \frac{15}{5} = 3 \] \[ 1 - \frac{7}{3} = \frac{3}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{4}{3} \] Bước 5: Thay kết quả vào biểu thức: \[ A = \frac{a^3}{a^{-\frac{4}{3}}} \] Bước 6: Áp dụng quy tắc chia lũy thừa cùng cơ sở: \[ A = a^{3 - (-\frac{4}{3})} = a^{3 + \frac{4}{3}} = a^{\frac{9}{3} + \frac{4}{3}} = a^{\frac{13}{3}} \] Vậy biểu thức $A$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là: \[ A = a^{\frac{13}{3}} \] Câu 2. Để phương trình $4^x - 4 \cdot 2^{x+1} + m = 0$ có hai nghiệm, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt $t = 2^x$, ta có $t > 0$. Phương trình trở thành: \[ t^2 - 4 \cdot 2 \cdot t + m = 0 \] \[ t^2 - 8t + m = 0 \] Bước 2: Để phương trình bậc hai này có hai nghiệm dương, ta cần: 1. Discriminant ($\Delta$) phải lớn hơn hoặc bằng 0. 2. Tổng và tích của các nghiệm phải thỏa mãn điều kiện nghiệm dương. Tính discriminant: \[ \Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 64 - 4m \] Điều kiện $\Delta \geq 0$: \[ 64 - 4m \geq 0 \] \[ 4m \leq 64 \] \[ m \leq 16 \] Bước 3: Xét tổng và tích của các nghiệm: - Tổng của các nghiệm: $t_1 + t_2 = 8$ - Tích của các nghiệm: $t_1 \cdot t_2 = m$ Để cả hai nghiệm đều dương, ta cần: \[ t_1 > 0 \text{ và } t_2 > 0 \] \[ m > 0 \] Bước 4: Kết hợp các điều kiện trên, ta có: \[ 0 < m \leq 16 \] Vậy giá trị của tham số \( m \) để phương trình \( 4^x - 4 \cdot 2^{x+1} + m = 0 \) có hai nghiệm là: \[ 0 < m \leq 16 \] Câu 3. Để tính xác suất của biến cố \( A \cup B \), ta cần biết xác suất của các biến cố liên quan: \( P(A) \), \( P(B) \), và \( P(AB) \). Trước tiên, ta biết rằng hai biến cố \( A \) và \( B \) là độc lập, do đó xác suất của biến cố \( AB \) (tức là cả \( A \) và \( B \) cùng xảy ra) được tính bằng: \[ P(AB) = P(A) \cdot P(B) \] Biết rằng \( P(B) = 0,6 \) và \( P(AB) = 0,3 \), ta có thể tìm \( P(A) \) như sau: \[ 0,3 = P(A) \cdot 0,6 \] \[ P(A) = \frac{0,3}{0,6} = 0,5 \] Bây giờ, ta cần tính xác suất của biến cố \( A \cup B \) (tức là ít nhất một trong hai biến cố \( A \) hoặc \( B \) xảy ra). Công thức để tính xác suất của biến cố \( A \cup B \) là: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức trên: \[ P(A \cup B) = 0,5 + 0,6 - 0,3 = 0,8 \] Vậy xác suất của biến cố \( A \cup B \) là: \[ \boxed{0,8} \] Câu 4. Để tính góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC\) trong hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh: - Gọi \(A\) là gốc tọa độ, \(A(0, 0, 0)\). - Vì \(AB = AC = a\) và \(\angle BAC = 120^\circ\), ta có: \[ B(a, 0, 0) \] \[ C\left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \] - Vì \(AA' = a\sqrt{2}\) và \(AA' \perp AB, AA' \perp AC\), ta có: \[ A'(0, 0, a\sqrt{2}) \] \[ B'(a, 0, a\sqrt{2}) \] \[ C'\left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, a\sqrt{2}\right) \] 2. Tìm vector của các đường thẳng: - Vector \( \overrightarrow{AB'} \): \[ \overrightarrow{AB'} = B' - A = (a, 0, a\sqrt{2}) - (0, 0, 0) = (a, 0, a\sqrt{2}) \] - Vector \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) - (a, 0, 0) = \left(-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) \] 3. Tính tích vô hướng của hai vector: \[ \overrightarrow{AB'} \cdot \overrightarrow{BC} = (a, 0, a\sqrt{2}) \cdot \left(-\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) = a \cdot \left(-\frac{3a}{2}\right) + 0 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} + a\sqrt{2} \cdot 0 = -\frac{3a^2}{2} \] 4. Tính độ dài của hai vector: \[ |\overrightarrow{AB'}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{\left(-\frac{3a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{12a^2}{4}} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3} \] 5. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB'} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB'}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{-\frac{3a^2}{2}}{(a\sqrt{3})(a\sqrt{3})} = \frac{-\frac{3a^2}{2}}{3a^2} = -\frac{1}{2} \] 6. Tìm góc \(\theta\): \[ \theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC\) là \(120^\circ\).