Giúp mik bài này vs

Câu 1: Để biểu thức $\sqrt{\frac{1}{3-2x}}$ có nghĩa, ta cần đảm bảo rằng phân số $\frac{1}{3-2x}$ nằm trong miền xác định của căn bậc hai, tức là phần tử trong căn bậc hai phải lớn hơn 0. Do đó, ta có: \[ \frac{1}{3-2x} > 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ 3 - 2x > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 3 > 2x \] \[ \frac{3}{2} > x \] \[ x < \frac{3}{2} \] Vậy điều kiện xác định của biểu thức là: \[ x < \frac{3}{2} \] Đáp án đúng là: A. $x < \frac{3}{2}$. Câu 2: Để xác định phương trình bậc hai một ẩn, chúng ta cần kiểm tra từng phương trình và xem nó có đúng là phương trình bậc hai một ẩn hay không. Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát là \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a \neq 0\). A. \(2x^2 + 3y = 0\) - Phương trình này có hai biến \(x\) và \(y\), do đó không phải là phương trình bậc hai một ẩn. B. \(x^2 + 2 = x(x - 1)\) - Ta mở ngoặc và thu gọn: \[x^2 + 2 = x^2 - x\] \[2 = -x\] - Phương trình này đã được thu gọn thành phương trình bậc nhất, không phải là phương trình bậc hai một ẩn. C. \(x(2x + 3) - x = 1\) - Ta mở ngoặc và thu gọn: \[2x^2 + 3x - x = 1\] \[2x^2 + 2x = 1\] \[2x^2 + 2x - 1 = 0\] - Đây là phương trình bậc hai một ẩn. D. \(\frac{2}{x^2} - 3x + 4 = 0\) - Phương trình này có phân thức, do đó không phải là phương trình bậc hai một ẩn. Vậy phương trình đúng là phương trình bậc hai một ẩn là: C. \(x(2x + 3) - x = 1\) Đáp án: C. Câu 3: Để xác định điểm nào thuộc đồ thị hàm số \( y = 2x^2 \), ta thay tọa độ của từng điểm vào phương trình và kiểm tra xem liệu chúng có thỏa mãn phương trình hay không. A. \( (\sqrt{2}; 4) \) - Thay \( x = \sqrt{2} \) vào phương trình: \[ y = 2(\sqrt{2})^2 = 2 \times 2 = 4 \] - Kết quả đúng, do đó điểm \( (\sqrt{2}; 4) \) thuộc đồ thị. B. \( (-\sqrt{2}; -4) \) - Thay \( x = -\sqrt{2} \) vào phương trình: \[ y = 2(-\sqrt{2})^2 = 2 \times 2 = 4 \] - Kết quả là \( y = 4 \), không phải \( -4 \), do đó điểm \( (-\sqrt{2}; -4) \) không thuộc đồ thị. C. \( (2; 4) \) - Thay \( x = 2 \) vào phương trình: \[ y = 2(2)^2 = 2 \times 4 = 8 \] - Kết quả là \( y = 8 \), không phải \( 4 \), do đó điểm \( (2; 4) \) không thuộc đồ thị. D. \( (1; \frac{1}{2}) \) - Thay \( x = 1 \) vào phương trình: \[ y = 2(1)^2 = 2 \times 1 = 2 \] - Kết quả là \( y = 2 \), không phải \( \frac{1}{2} \), do đó điểm \( (1; \frac{1}{2}) \) không thuộc đồ thị. Kết luận: Điểm thuộc đồ thị hàm số \( y = 2x^2 \) là \( (\sqrt{2}; 4) \). Đáp án: A. \( (\sqrt{2}; 4) \) Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức Viète để tìm tổng và tích của các nghiệm của phương trình bậc hai. Phương trình đã cho là: \[ 2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0 \] Theo công thức Viète, nếu \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \), thì: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \] Áp dụng vào phương trình của chúng ta: \[ a = 2, \quad b = -2\sqrt{2}, \quad c = 1 \] Tổng của các nghiệm: \[ x_1 + x_2 = -\frac{-2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \] Tích của các nghiệm: \[ x_1 x_2 = \frac{1}{2} \] Bây giờ, chúng ta cần tìm \( x_1^2 + x_2^2 \). Ta sử dụng công thức: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] Thay các giá trị đã tìm được vào: \[ x_1^2 + x_2^2 = (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{2} \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 2 - 1 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 1 \] Vậy đáp án đúng là: C. 1. Câu 5: Gọi chiều rộng của sân chơi là x (m, điều kiện: x > 0). Chiều dài của sân chơi là x + 5 (m). Diện tích của sân chơi là: \[ x(x + 5) = 300 \] Phương trình này có dạng: \[ x^2 + 5x - 300 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 1 \), \( b = 5 \), \( c = -300 \). Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times 1 \times (-300) = 25 + 1200 = 1225 \] Căn bậc hai của delta: \[ \sqrt{\Delta} = \sqrt{1225} = 35 \] Áp dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-5 \pm 35}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15 \] \[ x_2 = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \] Vì chiều rộng không thể là số âm, nên ta loại nghiệm \( x_2 = -20 \). Vậy chiều rộng của sân chơi là: \[ x = 15 \text{ m} \] Đáp án đúng là: D. 15 m. Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp. Bước 1: Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Tam giác ABC vuông tại A, do đó đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm của cạnh huyền BC. - Ta biết rằng trong tam giác vuông, đường cao hạ từ đỉnh vuông góc đến cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn tỉ lệ với bình phương của hai cạnh góc vuông. Ta có: \[ AB = 4 \text{ cm}, \angle ACB = 30^\circ \] Do đó, tam giác ABC là tam giác vuông cân với góc 30° và 60°. Trong tam giác vuông cân với góc 30°, cạnh huyền gấp đôi cạnh đối diện với góc 30°. Cạnh huyền BC sẽ là: \[ BC = 2 \times AB = 2 \times 4 = 8 \text{ cm} \] Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp là nửa cạnh huyền: \[ R = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ cm} \] Bước 2: Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp Độ dài đường tròn ngoại tiếp được tính bằng công thức: \[ L = 2\pi R \] Thay giá trị R vào công thức: \[ L = 2\pi \times 4 = 8\pi \text{ cm} \] Vậy độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \[ 8\pi \text{ cm} \] Đáp án đúng là: D. $8\pi \text{ cm}$. Câu 7: Để tìm diện tích của hình tròn ngoại tiếp tam giác đều, ta cần biết bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều. Bán kính \( R \) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có cạnh \( a \) được tính theo công thức: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Ở đây, cạnh \( a = 3 \) cm. Do đó, bán kính \( R \) là: \[ R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ cm} \] Diện tích \( S \) của hình tròn được tính theo công thức: \[ S = \pi R^2 \] Thay \( R = \sqrt{3} \) vào công thức trên, ta có: \[ S = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích của hình tròn ngoại tiếp tam giác đều là: \[ 3\pi \text{ cm}^2 \] Đáp án đúng là: B. \( 3\pi \text{ cm}^2 \) Câu 8: Thể tích của khối gỗ hình trụ được tính bằng công thức: \[ V = S \times h \] Trong đó: - \( S \) là diện tích đáy của khối gỗ. - \( h \) là chiều cao của khối gỗ. Áp dụng công thức trên vào bài toán: Diện tích đáy \( S = 2\pi \, cm^2 \) Chiều cao \( h = 3 \, cm \) Thể tích của khối gỗ là: \[ V = 2\pi \times 3 = 6\pi \, cm^3 \] Vậy đáp án đúng là: B. \( 6\pi \, cm^3 \) Bài 1 1. Chứng minh đẳng thức $\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\sqrt{12}-15\sqrt{\frac{1}{5}}=-\sqrt{5}$ Ta có: $\frac{4}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\sqrt{12}-15\sqrt{\frac{1}{5}}$ $=\frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}-2\sqrt{3}-3\sqrt{5}$ $=\frac{4(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3}-2\sqrt{3}-3\sqrt{5}$ $=2(\sqrt{5}+\sqrt{3})-2\sqrt{3}-3\sqrt{5}$ $=2\sqrt{5}+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}-3\sqrt{5}$ $=-\sqrt{5}$ 2. Rút gọn biểu thức $P=\frac{15\sqrt{x}-11}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}+\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$ (với $x\geq 0;x\ne 1)$ Điều kiện xác định: $x\geq 0;x\ne 1$ Ta có: $P=\frac{15\sqrt{x}-11}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}+\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$ $=\frac{15\sqrt{x}-11}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}-\frac{3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$ $=\frac{15\sqrt{x}-11-(3\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+3)-(2\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$ $=\frac{15\sqrt{x}-11-(3x+9\sqrt{x}-2\sqrt{x}-6)-(2x-\sqrt{x}+3\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$ $=\frac{15\sqrt{x}-11-3x-9\sqrt{x}+2\sqrt{x}+6-2x+\sqrt{x}-3\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$ $=\frac{-5x+5\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$ $=\frac{-5(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)+13}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$ $=\frac{-5(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}+\frac{13}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$ $=-5+\frac{13}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+3)}$ Bài 2 Để xác định hệ số \(a\) của hàm số \(y = ax^2\) biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(-1;1)\), ta thực hiện các bước sau: 1. Thay tọa độ của điểm \(A(-1;1)\) vào phương trình hàm số: \[ y = ax^2 \] \[ 1 = a(-1)^2 \] \[ 1 = a \cdot 1 \] \[ a = 1 \] Vậy hệ số \(a\) là 1. Do đó, phương trình hàm số là: \[ y = x^2 \] 2. Vẽ đồ thị hàm số \(y = x^2\): - Đồ thị hàm số \(y = x^2\) là một parabol mở rộng lên trên, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0). - Các điểm trên đồ thị có thể tính toán như sau: - Khi \(x = 0\), \(y = 0^2 = 0\) - Khi \(x = 1\), \(y = 1^2 = 1\) - Khi \(x = -1\), \(y = (-1)^2 = 1\) - Khi \(x = 2\), \(y = 2^2 = 4\) - Khi \(x = -2\), \(y = (-2)^2 = 4\) Đồ thị hàm số \(y = x^2\) sẽ là một parabol với các điểm nêu trên. Đáp số: \(a = 1\), đồ thị hàm số \(y = x^2\).