Giải hộ mình câu này với các bạn $(x-1).\sqrt{x^2+3x-1}=2x^2-3x+1$

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x \geq \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} $.

Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình với $ \sqrt{x^2 + 3x - 1} $:
$$ (x - 1)(x^2 + 3x - 1) = (2x^2 - 3x + 1)\sqrt{x^2 + 3x - 1}. $$

Bước 2: Đặt $ t = \sqrt{x^2 + 3x - 1} $, ta có:
$$ (x - 1)t = (2x^2 - 3x + 1)t. $$

Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế:
$$ (x - 1)t - (2x^2 - 3x + 1)t = 0. $$

Bước 4: Rút nhân tử chung $ t $ ra ngoài:
$$ t(x - 1 - 2x^2 + 3x - 1) = 0. $$
$$ t(-2x^2 + 4x - 2) = 0. $$

Bước 5: Ta có hai trường hợp:
1. $ t = 0 $:
$$ \sqrt{x^2 + 3x - 1} = 0 $$
$$ x^2 + 3x - 1 = 0 $$
Giải phương trình này:
$$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}. $$
Do điều kiện $ x \geq \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} $, ta có $ x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} $.

2. $ -2x^2 + 4x - 2 = 0 $:
$$ x^2 - 2x + 1 = 0 $$
$$ (x - 1)^2 = 0 $$
$$ x = 1 $$

Bước 6: Kiểm tra lại các nghiệm:
- Với $ x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} $:
$$ (x - 1)\sqrt{x^2 + 3x - 1} = 2x^2 - 3x + 1 $$
$$ \left( \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} - 1 \right) \cdot 0 = 2 \left( \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \right)^2 - 3 \left( \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \right) + 1 $$
$$ 0 = 0 $$ (Thỏa mãn)

- Với $ x = 1 $:
$$ (1 - 1)\sqrt{1^2 + 3 \cdot 1 - 1} = 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 $$
$$ 0 = 0 $$ (Thỏa mãn)

Vậy các nghiệm của phương trình là:
$$ x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \text{ hoặc } x = 1. $$