Giúp mình với! Chứng minh một định lý toán học phức tạp, hoặc giải một bài toán tối ưu hóa có nhiều biến số và ràng buộc.

Hà nhân Bài toán: Tối ưu hóa sản xuất

Giả sử một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B.

• Lợi nhuận mỗi đơn vị sản phẩm A là 40 USD, B là 30 USD.
• Mỗi sản phẩm A tiêu tốn 2 giờ lao động và 1 kg nguyên liệu.
• Mỗi sản phẩm B tiêu tốn 1 giờ lao động và 1.5 kg nguyên liệu.
• Tổng thời gian lao động có sẵn: 100 giờ
• Tổng nguyên liệu có sẵn: 80 kg

Yêu cầu: Xác định số lượng sản phẩm A và B cần sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận, với các ràng buộc trên.

Bước 1: Biểu diễn bài toán dưới dạng toán học

Gọi:

• x là số sản phẩm A
• y là số sản phẩm B

Hàm mục tiêu (maximize profit):

P(x, y) = 40x + 30y

Ràng buộc:

2x + y ≤ 100 (thời gian lao động)

x + 1.5y ≤ 80 (nguyên liệu)

x ≥ 0, y ≥ 0 (không thể sản xuất âm sản phẩm)

Bước 2: Dùng phương pháp đồ thị hoặc đơn hình (nếu là chương trình tuyến tính)

Vì bài toán tuyến tính và chỉ có 2 biến, ta có thể giải bằng cách:

• Vẽ hệ bất phương trình trên mặt phẳng x-y
• Xác định các đỉnh của vùng khả thi (tập nghiệm)
• Tính giá trị P(x, y) tại các đỉnh đó, chọn giá trị lớn nhất.

Nhưng vì bạn yêu cầu chứng minh và giải một bài toán tối ưu phức tạp, ta sẽ đi con đường phức tạp hơn một chút: dùng Lagrange cho trường hợp bài toán có ràng buộc bằng, sau đó mở rộng sang bất đẳng thức.

Bước 3: Giải bằng phương pháp Lagrange (cho ràng buộc =)

Giả sử chỉ xét một ràng buộc bằng:

2x + y = 100

Tối đa hóa:

L(x, y, λ) = 40x + 30y + λ(100 − 2x − y)

Đạo hàm riêng từng biến và cho bằng 0:

• ∂L/∂x = 40 − 2λ = 0 → λ = 20
• ∂L/∂y = 30 − λ = 0 → λ = 30 → mâu thuẫn
• ⟹ Không thể tối ưu nếu chỉ có một ràng buộc.

Giờ ta xử lý cả hai ràng buộc bất đẳng thức bằng phương pháp KKT (Karush-Kuhn-Tucker).

Bước 4: Áp dụng điều kiện KKT

Tối đa hóa:

f(x, y) = 40x + 30y

ràng buộc:

• g₁(x, y) = 2x + y − 100 ≤ 0
• g₂(x, y) = x + 1.5y − 80 ≤ 0

Giả sử có nghiệm tại điểm (x*, y*) thỏa mãn các điều kiện:

• ∇f = λ₁∇g₁ + λ₂∇g₂
• g₁(x, y) ≤ 0, g₂(x, y) ≤ 0
• λ₁, λ₂ ≥ 0
• λ₁g₁(x, y) = 0, λ₂g₂(x, y) = 0

Tính đạo hàm:

• ∇f = [40, 30]
• ∇g₁ = [2, 1]
• ∇g₂ = [1, 1.5]

Giải hệ phương trình:

40 = 2λ₁ + λ₂

30 = λ₁ + 1.5λ₂

Từ đó:

• λ₁ = 20 − 0.5λ₂
• Thay vào phương trình dưới:
• 30 = (20 − 0.5λ₂) + 1.5λ₂ = 20 + λ₂ ⟹ λ₂ = 10

→ λ₁ = 20 − 5 = 15

Tìm nghiệm (x, y) sao cho:

• g₁(x, y) = 0 → 2x + y = 100
• g₂(x, y) = 0 → x + 1.5y = 80

Giải hệ:

Từ 2x + y = 100 → y = 100 − 2x

Thế vào x + 1.5(100 − 2x) = 80

x + 150 − 3x = 80

−2x = −70 → x = 35

→ y = 100 − 2×35 = 30

Bước 5: Kết luận

• Sản xuất 35 sản phẩm A và 30 sản phẩm B
• Lợi nhuận tối đa = 40×35 + 30×30 = 1400 + 900 = 2300 USD