Giúp mình với! $|x-2|.\sqrt{4x^2+4x+1}=(2x+1).\sqrt{2x^2-5x+2}$

Question

Accepted Answer

$ |x-2| \cdot \sqrt{4x^2 + 4x + 1} = (2x + 1) \cdot \sqrt{2x^2 - 5x + 2} $
Nhận thấy rằng $ \sqrt{4x^2 + 4x + 1} = \sqrt{(2x + 1)^2} = |2x + 1| $.

Còn $ \sqrt{2x^2 - 5x + 2} $ có thể được giản ước.

Ta có thể phân tích $ 2x^2 - 5x + 2 $ thành $ (2x - 1)(x - 2) $.

Do đó, $ \sqrt{2x^2 - 5x + 2} = \sqrt{(2x - 1)(x - 2)} $.
Phương trình trở thành

$ |x - 2| \cdot |2x + 1| = (2x + 1) \cdot \sqrt{(2x - 1)(x - 2)} $.
Chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp cho $ |x - 2| $.

TH1 $ x - 2 \geq 0 $ (tức là $ x \geq 2 $).
Trong trường hợp này, $ |x - 2| = x - 2 $. Phương trình rút gọn thành:
$(x - 2)(2x + 1) = (2x + 1) \cdot \sqrt{(2x - 1)(x - 2)}$.
Nếu $ 2x + 1 \neq 0 $, chúng ta có thể chia cả hai bên cho $ 2x + 1 $:
$ x - 2 = \sqrt{(2x - 1)(x - 2)} $.
$(x - 2)^2 = (2x - 1)(x - 2)$.
$x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 5x + 2$.
$0 = x^2 - x - 2$.
$(x - 2)(x + 1) = 0$.
Vậy $x = 2$ hoặc $x = -1$.

Vì chúng ta đang ở trường hợp $x \geq 2$, ta chấp nhận $x = 2$.

TH2 $ x - 2 < 0 $ (tức là $ x < 2 $).
Trong trường hợp này, $ |x - 2| = 2 - x $.

Phương trình rút gọn thành:
$(2 - x)(2x + 1) = (2x + 1) \cdot \sqrt{(2x - 1)(x - 2)}$.
Nếu $ 2x + 1 \neq 0 $, ta chia cả hai bên cho $ 2x + 1 $:
$ 2 - x = \sqrt{(2x - 1)(x - 2)} $.
$(2 - x)^2 = (2x - 1)(x - 2)$.
$4 - 4x + x^2 = 2x^2 - 5x + 2$.
$0 = x^2 - x - 2$.
$(x - 2)(x + 1) = 0$.
Vậy $x = 2$ hoặc $x = -1$