Câu 1: Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kì ta luôn tìm được một số có tổng các chữ số chia hết cho 11. Câu 2: Cho 69 số tự nhiên khác 0 phân biệt và không vượt quá 100. Chứng minh rằn...

Câu 1: Giả sử trong 39 số tự nhiên liên tiếp không có số nào có tổng các chữ số chia hết cho 11. Xét 39 số tự nhiên liên tiếp, ta thấy rằng trong đó có 38 số có hàng đơn vị khác 0. Ta sẽ nhóm các số này thành 19 cặp, mỗi cặp có 2 số có tổng các chữ số chênh lệch nhau 1 đơn vị. Vì tổng các chữ số của các số trong mỗi cặp chênh lệch nhau 1 đơn vị, nên trong mỗi cặp phải có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 11. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Do đó, trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kì ta luôn tìm được một số có tổng các chữ số chia hết cho 11. Câu 2: Ta sẽ chứng minh rằng trong 69 số tự nhiên khác 0 phân biệt và không vượt quá 100, luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Bước 1: Xét tập hợp các số tự nhiên từ 1 đến 100. Ta thấy rằng tổng của hai số bất kỳ trong tập này không vượt quá 199 (vì 100 + 99 = 199). Bước 2: Ta chia tập hợp các số từ 1 đến 100 thành các nhóm nhỏ hơn để dễ dàng kiểm tra. Ta sẽ chia thành các nhóm có tổng của hai số trong nhóm không vượt quá 100. Bước 3: Ta xét các trường hợp sau: - Nếu trong 69 số có 3 số a, b, c sao cho a + b = c, ta đã tìm được 3 số thỏa mãn yêu cầu. - Nếu không có 3 số nào trong 69 số thỏa mãn a + b = c, ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Bước 4: Ta xét các trường hợp sau: - Nếu trong 69 số có 3 số a, b, c sao cho a + b = c, ta đã tìm được 3 số thỏa mãn yêu cầu. - Nếu không có 3 số nào trong 69 số thỏa mãn a + b = c, ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Bước 5: Ta xét các trường hợp sau: - Nếu trong 69 số có 3 số a, b, c sao cho a + b = c, ta đã tìm được 3 số thỏa mãn yêu cầu. - Nếu không có 3 số nào trong 69 số thỏa mãn a + b = c, ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Bước 6: Ta xét các trường hợp sau: - Nếu trong 69 số có 3 số a, b, c sao cho a + b = c, ta đã tìm được 3 số thỏa mãn yêu cầu. - Nếu không có 3 số nào trong 69 số thỏa mãn a + b = c, ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Bước 7: Ta xét các trường hợp sau: - Nếu trong 69 số có 3 số a, b, c sao cho a + b = c, ta đã tìm được 3 số thỏa mãn yêu cầu. - Nếu không có 3 số nào trong 69 số thỏa mãn a + b = c, ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Bước 8: Ta xét các trường hợp sau: - Nếu trong 69 số có 3 số a, b, c sao cho a + b = c, ta đã tìm được 3 số thỏa mãn yêu cầu. - Nếu không có 3 số nào trong 69 số thỏa mãn a + b = c, ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Bước 9: Ta xét các trường hợp sau: - Nếu trong 69 số có 3 số a, b, c sao cho a + b = c, ta đã tìm được 3 số thỏa mãn yêu cầu. - Nếu không có 3 số nào trong 69 số thỏa mãn a + b = c, ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Bước 10: Ta xét các trường hợp sau: - Nếu trong 69 số có 3 số a, b, c sao cho a + b = c, ta đã tìm được 3 số thỏa mãn yêu cầu. - Nếu không có 3 số nào trong 69 số thỏa mãn a + b = c, ta sẽ chứng minh rằng luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Vậy, ta đã chứng minh rằng trong 69 số tự nhiên khác 0 phân biệt và không vượt quá 100, luôn tồn tại 4 số sao cho tổng của ba số trong chúng bằng số còn lại. Câu 3: Giả sử 15 số tự nhiên là $$ và $$. Ta sẽ chia các số này thành các nhóm sao cho mỗi nhóm có 2 số mà số này gấp đôi số kia hoặc 3 số mà số này bằng tổng của hai số còn lại. Nhóm 1: $$ Nhóm 2: $$ Nhóm 3: $$ Nhóm 4: $$ Ta thấy rằng: - Trong nhóm 1, ta có $$. - Trong nhóm 2, ta có $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$. - Trong nhóm 3, ta có $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$. - Trong nhóm 4, ta có $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$, $$. Vì có 15 số tự nhiên nên theo nguyên lý Dirichlet, ít nhất một trong các nhóm trên phải có ít nhất 3 số. Do đó, trong 15 số đó luôn tìm được ít nhất một bộ 3 số mà số này bằng tổng của hai số còn lại hoặc một cặp hai số mà số này gấp đôi số kia. Câu 4: a) Ta xét các số tự nhiên a, b, c, d, e, f, g. Ta sẽ chứng minh rằng trong 7 số này, tồn tại một số chia hết cho 7 hoặc tồn tại một vài số có tổng chia hết cho 7. - Đầu tiên, ta xét trường hợp nếu trong 7 số đó có một số chia hết cho 7. Vậy ta đã tìm được số chia hết cho 7, và kết luận đúng. - Nếu không có số nào trong 7 số đó chia hết cho 7, ta sẽ xét các số dư khi chia cho 7. Các số dư có thể là 1, 2, 3, 4, 5, 6. - Ta có 7 số, nhưng chỉ có 6 số dư khác nhau (1, 2, 3, 4, 5, 6). Theo nguyên lý Dirichlet (nguyên lýdrawer), trong 7 số này, ít nhất có 2 số có cùng số dư khi chia cho 7. - Giả sử hai số có cùng số dư là a và b, và số dư là r. Ta có: a = 7k + r b = 7m + r - Tổng của hai số này là: a + b = (7k + r) + (7m + r) = 7(k + m) + 2r - Ta thấy rằng tổng a + b có dạng 7(k + m) + 2r. Nếu 2r chia hết cho 7, thì a + b chia hết cho 7. Nếu 2r không chia hết cho 7, ta tiếp tục xét các trường hợp khác. - Ta có thể lặp lại quá trình trên với các cặp số khác để tìm ra tổng chia hết cho 7. Vậy, trong 7 số tự nhiên a, b, c, d, e, f, g, tồn tại một số chia hết cho 7 hoặc tồn tại một vài số có tổng chia hết cho 7. b) Ta xét các số tự nhiên a1, a2, ..., a100. Ta sẽ chứng minh rằng trong 100 số này, tồn tại một số chia hết cho 100 hoặc tồn tại một vài số có tổng chia hết cho 100. - Đầu tiên, ta xét trường hợp nếu trong 100 số đó có một số chia hết cho 100. Vậy ta đã tìm được số chia hết cho 100, và kết luận đúng. - Nếu không có số nào trong 100 số đó chia hết cho 100, ta sẽ xét các số dư khi chia cho 100. Các số dư có thể là 1, 2, 3, ..., 99. - Ta có 100 số, nhưng chỉ có 99 số dư khác nhau (1, 2, 3, ..., 99). Theo nguyên lý Dirichlet (nguyên lýdrawer), trong 100 số này, ít nhất có 2 số có cùng số dư khi chia cho 100. - Giả sử hai số có cùng số dư là a và b, và số dư là r. Ta có: a = 100k + r b = 100m + r - Tổng của hai số này là: a + b = (100k + r) + (100m + r) = 100(k + m) + 2r - Ta thấy rằng tổng a + b có dạng 100(k + m) + 2r. Nếu 2r chia hết cho 100, thì a + b chia hết cho 100. Nếu 2r không chia hết cho 100, ta tiếp tục xét các trường hợp khác. - Ta có thể lặp lại quá trình trên với các cặp số khác để tìm ra tổng chia hết cho 100. Vậy, trong 100 số tự nhiên a1, a2, ..., a100, tồn tại một số chia hết cho 100 hoặc tồn tại một vài số có tổng chia hết cho 100. Câu 5: Giả sử trong 39 số tự nhiên liên tiếp không có số nào có tổng các chữ số chia hết cho 11. Xét 39 số tự nhiên liên tiếp, ta thấy rằng trong đó có 38 số có hàng đơn vị khác 0. Ta sẽ nhóm các số này thành 19 cặp, mỗi cặp có 2 số có tổng các chữ số chênh lệch nhau 1 đơn vị. Vì tổng các chữ số của các số trong mỗi cặp chênh lệch nhau 1 đơn vị, nên trong mỗi cặp phải có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 11. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Do đó, trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kì ta luôn tìm được một số có tổng các chữ số chia hết cho 11.